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1、 (2013 广东)已知二次函数 .122mxy(1)当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0)时,求二次函数的解析式;(2)如题 23 图,当 时,该抛物线与 轴交于点 C,顶点为 D,2m求 C、D 两点的坐标;(3)在(2)的条件下, 轴上是否存在一点 P,使得 PC+PD 最短?若 P 点x存在,求出 P 点的坐标; 若 P 点不存在,请说明理由.23.(1)m=1,二次函数关系式为 ;xyxy22或(2)当 m=2 时, ,D(2,1);当 时,1)(342xy 0,C(0,3).3y(3)存在.连结 C、D 交 轴于点 P,则点 P 为所求,由 C(0,3)、D(2,1)求得直线 CD 为2x当 时, ,P( ,0).0y322、 (9 分) (2013 佛山)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(0,3) ,B(3,0) ,C(4,3) (1)求抛物线的函数表达式;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在 x 轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积 S(图中阴影部分) 解:(1)抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(0,3) ,B (3,0) ,C(4,3) , ,解得 ,所以抛物线的函数表达式为 y=x24x+3;(2)y=x 24x+3=(x2) 21,抛物线的顶点坐标为(2,1) ,对称轴为直线x=2;(3)如图,抛物线的顶点坐标为(2,1) ,PP=1,阴影部分的面积等于平行四边形 AAPP 的面积,平行四边形 AAPP的面积=12=2,阴影部分的面积=2点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,二次函数图象与几何变换, (3)根据平移的性质,把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键25 (8 分) (2013 茂名)如图,抛物线 与 x 轴交于点 A 和点 B,与 y 轴交于点 C,已知点 B 的坐标为(3,0) (1)求 a 的值和抛物线的顶点坐标;(2)分别连接 AC、BC在 x 轴下方的抛物线上求一点 M,使 AMC 与ABC 的面积相等;(3)设 N 是抛物线对称轴上的一个动点, d=|ANCN|探究:是否存在一点 N,使 d 的值最大?若存在,请直接写出点 N 的坐标和 d 的最大值;若不存在,请简单说明理由解:(1)抛物线 y=ax2 x+2 经过点 B(3,0) ,9a 3+2=0,解得 a= ,y= x2 x+2,y= x2 x+2= (x 2+3x)+2= (x+ ) 2+ ,顶点坐标为( , ) ;(2)抛物线 y= x2 x+2 的对称轴为直线 x= ,与 x 轴交于点 A 和点 B,点 B 的坐标为(3,0) ,点 A 的坐标为( 6,0) 又 当 x=0 时,y=2 ,C 点坐标为(0,2) 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,则 ,解得 ,直线 AC 的解析式为 y= x+2SAMC=SABC,点 B 与点 M 到 AC 的距离相等,又 点 B 与点 M 都在 AC 的下方,BMAC,设直线 BM 的解析式为 y= x+n,将点 B(3,0)代入,得 3+n=0,解得 n=1,直线 BM 的解析式为 y= x1由 ,解得 , ,M 点的坐标是( 9,4) ;(3)在抛物线对称轴上存在一点 N,能够使 d=|ANCN|的值最大理由如下:抛物线 y= x2 x+2 与 x 轴交于点 A 和点 B,点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对称连接 BC 并延长,交直线 x= 于点 N,连接 AN,则 AN=BN,此时d=|ANCN|=|BNCN|=BC 最大设直线 BC 的解析式为 y=mx+t,将 B(3,0) ,C (0,2)两点的坐标代入,得 , ,直线 BC 的解析式为 y= x+2,当 x= 时,y= ( )+2=3,点 N 的坐标为( ,3) ,d 的最大值为 BC= = 本题是二次函数的综合题型,其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,二次函数的性质,三角形的面积,轴对称的性质等知识,难度适中其中第(2)小题根据三角形的面积公式及平行线的性质得出 BMAC 是关键,第(3)小题根据轴对称及三角形三边关系定理确定点 N 的位置是关键
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