“村庄河流” 问题的应用1aCAABDaA B“村庄河流”问题的应用例题 1：“要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,修在河边什么地方,可使所用的水管最短?”分析：这一实际问题可转化为如下的数学问题：“已知：如图,直线 a 与 a 同侧两点 A、B。求作：点 C，使 C 在直线 a 上，并且 AC+CB 最小。 ” 作法：作点 A 关于直线的对称点 A，连结 AB 与直线的交点就是所求的点 C。评析：上述问题的解决过程既有作图步骤，又指出了最小值是哪条线段，还提供了一种证明几何极值的方法，即综合运用轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、三角形三边关系等。掌握好上述问题的方法和结论，并灵活运用就可解决一类几何问题。为便于叙述和记忆，我们把这一类几何问题称为“村庄河流问题”。应用举例：如图所示，AB 是圆 O 的直径， AB=2，OC 是圆 O 的半径，点 D 在 上， 的度数是 度数的 2 倍，点 P 是半径 OC 上一个动点，那么 的最小值等于_。小结：解决“村庄河流问题”，关键是确定哪是“村庄”，哪是“河流”，然后按照上例提供的方法，把问题解决。练习：（以下各题均出自各地历年中考试卷或由中考试题改编）1、如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，P 为 AB 边上一点，当点 P 满足什么条件时，DP+CP 最小？P DCBOA DDAB CP “村庄河流” 问题的应用2A：AP=BP B：APD= BPCC：DPCP D： DP+CP=CD2、如图：菱形 ABCD 中，C=120，AB=2，E 为 AD中点，F 为 BD 上一点，则 AF+EF 的最小值_。3、正方形 ABCD 的边长为 8，E 为 CD 上一点，且DE=2，若 P 为对角线 AC 上一点，则 EP+DP 的最小值为_。4、如图，MN 是 O 的直径， MN=2，点 A 在O 上，AMN=30，B 是弧 AN 的中点，P 是直径 MN 上一动点，则PA+PB 的最小值 _。5、在平面直角坐标系中，点 A（-2 ，1） ，点 B（1，5） ，在 x 轴上有一点 C， 且ABC 的周长最小。求点 C 坐标。6、如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，3） ，一个动点从 OA 中点 M 出发，先到达 x 轴上的点E，再到达直线 x=3 上的一点 F，最后运动到点A。求使点 P 运动的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长。E DAB CFDCBAEPNOMABPAMOX=3EF “村庄河流” 问题的应用3参考答案：1、B 2、 3、10 4、 5、2)0,3(6、解：作点 M 关于 x 轴的对称点 M,则 M（0， ） ，23点 A 关于直线 x=3 的对称点 A，则 A（6，3） 。连结 MA，则它与 x 轴的交点就是点 E，与直线 x=3 的交点就是点 F。用待定系数法求得直线 MA的解析式为 。4xy所以 E（2，0） ，F )43,(在直角三角形 MAA 中，MA= ，AA=6，根据勾股定理可求得 MA= 。29215根据作图可知，点 P 运动的总路径的最小值就是线段 MA的长。即点 P 运动的总路径的最小值是 。215AMOX=3EFMA