欢迎光临 中学数学信息网 zxsx127163.com 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网2009 年全国高中数学联合竞赛一试试题（考试时间：10 月 11 日上午 800920）一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分把答案填在横线上1若函数 ，且 ，则 21xf()()nnfxffxL1423(9)1f2已知直线 ： 和圆 ： ，点 在直线 上， 、L90yM80yALB为圆 上两点，在 中， ， 过圆心 ，则点 横坐标范围为 CMABC5ABM3在坐标平面上有两个区域 和 ， 为： 是随 变化的区域，它由不等式N2yxNt所确定， 的取值范围是 ，设 和 的公共面积是函数 ，则 1txt01t ftft4使不等式 对一切正整数 都成立的最小正整数 的值2723annLna为 5椭圆 （ ）上任意两点 ， ，若 ，则乘积 的最21xyab0aPQOOPQ小值为 6若方程 仅有一个实根，那么 的取值范围是 lg2lkxk7一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示） 8某车站每天 800900，9001000 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻 810910 830930 850950概率 161213一旅客 820 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分） 二、解答题：本大题共 3 小题，共 44 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步欢迎光临 中学数学信息网 zxsx127163.com 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网骤1 （本小题满分 14 分）设直线 ： （其中 ， 为整数）与椭圆 交于不lykxmk216y同两点 ， ，与双曲线 交于不同两点 ， ，问是否存在直线 ，使得向量AB214xCDl，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由0CDurr2 （本小题满分 15 分）已知 ， （ ）是实数，方程 有两个实根 ，pq020xpq欢迎光临 中学数学信息网 zxsx127163.com 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网，数列 满足 ， ， （ 3，4，） na1p2aq12nnapqa（I）求数列 的通项公式（用 ， 表示） ；（II）若 ， ，求 的前 项和p4qn3 （本小题满分 15 分）求函数 的最大值和最小值2713yxx2009 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）欢迎光临 中学数学信息网 zxsx127163.com 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网（考试时间：10 月 11 日上午 9401210）一、如图， ， 分别为锐角三角形 （ ）的外接圆 上弧 、 的中MNABCBCA点过点 作 / 交圆 于 点， 为 的内心，连接 并延长交圆 于 CPPIPIT（I）求证：当 ；T（II）在弧 （不含点 ）上任取一点 （ ， ， ） ，记 ， 的内心ABQTBQ分别为 ， ，求证： ， ， ， 四点共圆1I21I2T二、求证不等式： ， 1，2，21lnnkTIPN MABCQ欢迎光临 中学数学信息网 zxsx127163.com 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网三、设 ， 是给定的两个正整数求证：有无穷多个正整数 ，使得 与 互素kl mkkmCl欢迎光临 中学数学信息网 zxsx127163.com 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网四、在非负数构成 数表39欢迎光临 中学数学信息网 zxsx127163.com 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网12134156178192223333xxxP 中每行的数互不相同，前 6 列中每列的三数之和为 1， ， ， ， ，72890x27x318， ， 均大于 1如果 的前三列构成的数表38x192 12133xS满足下面的性质（O）：对于数表 中的任意一列 （ 1，2，9）均存在某个P123kkx1，2，3使得 ， ， iminikixu1ix2ii求证：（I）最小值 ， ， ， 1，2，3 一定取自数表 的不同列ii1i2i3iS（II）存在数表 中的唯一的一列 ， 1，2，3 使得 数表P*23kkx3121*33 kkxS仍然具有性质（O） ，即对于数表 中的任意一列 （ 1，2，9）均存在某个P123kx1，2，3使得 ， ， iminikixu1ix2i*ik