上教考资源网 助您教考无忧 版权所有中国教育考试资源网 一. 本周教学内容： 解析几何部分复习：椭圆 二. 教学目的 1、掌握椭圆标准方程的两种形式及椭圆的主要基本量。 2、掌握椭圆的几何性质及其应用。 三. 教学重点、难点 重点：椭圆标准方程及其应用；椭圆的几何性质及其应用。 难点：椭圆标准方程和几何性质及其应用及解决椭圆问题时所涉及的思想方法。 四. 知识分析 【知识梳理】 1、椭圆的定义 平面内与两个定点 F 1 ，F 2 的距离之和等于常数（大于|F 1 F 2 |）的点的轨迹叫做椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 2 2 2 2 1 ( 0) x y a b a b 2 2 2 2 1 ( 0) y x a b a b 图 形 范 围 axa，byb bxb，aya 对称 性对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点 顶 点 A 1 （a，0） ，A 2 （a，0） ， B 1 （0，b） ，B 2 （0，b） A 1 （0，a） ，A 2 （0，a） ， B 1 （b，0） ，B 2 （b，0）轴 长轴 A 1 A 2 的长为 2a，短轴 B 1 B 2 的长为 2b焦 距|F 1 F 2 |2c （ 2 2 c a b ） 性 质离心 率(0,1), c e a 其中 2 2 c a b 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有中国教育考试资源网 准线方 程 2 a x c 2 a y c 【要点解析】 1、求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法（先定性，后定形，再 定参） 椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准” ，就是椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴 上焦点 F 1 ，F 2 的位置决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件；参数 a，b 决定椭圆 的形状和大小，是椭圆的定形条件。对于方程 2 2 2 2 1 x y m n （m0, n0）若 mn0，则椭 圆的焦点在 x 轴上；若 0mn，则椭圆的焦点在 y 轴上，焦点位置不明确时，要注意分类 讨论。 2、注意椭圆几何性质的挖掘 （1）椭圆中有“四线” （两条对称轴、两条准线） ， “六点” （两个焦点、四个顶点） ，注 意它们之间的位置关系（如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等）及相互间的距离 （如焦点到相应顶点的距离为 a c ，到相应准线的距离为 2 2 a b c c c 等） 。 （2）设椭圆方程 2 2 2 2 1 ( 0) x y a b a b 上任意一点为 ( , ) P x y ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | ( ) b c x a b OP x y x a x a a ，因为 a x a ，所以 0 x 时， | | OP 有最小值 b，这时，P 在短轴端点处；当 x a 时， | | OP 有最大值 a，这时 P 在长轴端 点 A 1 或 A 2 处。 （3）椭圆上任意一点 ( , )( 0) P x y y 与两焦点 1 2 ( ,0), ( ,0) F c F c 构成的三角形PF 1 F 2 称之为焦点三角形，周长为 2( ) a c 。 （4）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有 2 2 2 a b c 。 3、求动点 ( , ) M x y 的轨迹方程时，不直接建立 , x y 间的关系，而是先寻求 , x y 与中间变量 0 0 , x y 间的关系。利用已知关于 0 0 , x y 间的关系方程得到 , x y 之间的关系方程，也称为代入 法（或相关点法）求轨迹方程。要注意平面向量与椭圆结合的题目，能够根据平面向量的坐 标运算解决有关问题。 【典型例题】例 1. 一动圆与已知圆 1 O ： 1 y 3 x 2 2 外切，与圆 2 O ： 81 y 3 x 2 内切，试求 动圆圆心的轨迹方程。 解析：两定圆的圆心和半径分别为 1 O （ 3 ，0） ， 1 r 1 ； 2 O （3，0） ， 9 r 2 ，设动圆 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有中国教育考试资源网 圆心为 M（x，y） ，半径为 R，则由题设条件可得 R 1 | MO | 1 ， R 9 | MO | 2 。 10 | MO | | MO | 2 1 。 由椭圆的定义知：M 在以 1 O 、 2 O 为焦点的椭圆上，且 5 a ， 3 c 。 16 9 25 c a b 2 2 2 ， 故动圆圆心的轨迹方程为 1 16 y 25 x 2 2 。 点评：平面内一动点与两个定点 1 F 、 2 F 的距离之和等于常数 a 2 ，当 | F F | a 2 2 1 时，动 点的轨迹是椭圆；当 | F F | a 2 2 1 时，动点的轨迹是线段 2 1 F F ；当 | F F | a 2 2 1 时，轨迹不存在。例 2. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程。 （1）长轴是短轴的 3倍且经过点 A（3，0） ； （2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3 ； （3）经过点 P（ 3 2 ，1） ，Q（ 3 ， 2 ）两点； （4）与椭圆 1 3 y 4 x 2 2 有相同离心率且经过点 ) 3 , 2 ( 。 解析：（1）若椭圆的焦点在 x轴上，设方程为 0 b a 1 b y a x 2 2 2 2 椭圆过点 A（3，0） ， 1 a 9 2 ，a=3， 3 a 2 b 2 ， 1 b ， 方程为 1 y 9 x 2 2 。 若椭圆的焦点在 y 轴上，设椭圆方程为 0 b a 1 b x a y 2 2 2 2 ， 椭圆过点 A（3，0） ， 1 b 9 a 0 2 2 2 ， 3 b ， 3 a 2 b 2 ， 9 a ， 方程为 1 9 x 81 y 2 2 。 综上所述，椭圆方程为 1 y 9 x 2 2 或 9 x 81 y 2 2 1。 （2）由已知 3 c a c 2 a ， 3 c 3 2 a 。从而 9 b 2 ， 所求椭圆的标准方程为 1 9 y 12 x 2 2 或 1 12 y 9 x 2 2 。 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有中国教育考试资源网 （3）设椭圆的标准方程为 0 n , 0 m 1 ny mx 2 2 ， 点 P（ 3 2 ，1） ，Q（ 3 ， 2 ）在椭圆上， 代入上述方程得 1 n 4 m 3 1 n m 12 ， 解得 5 1 n 15 1 m ， 1 5 y 15 x 2 2 。 （4）由题意，设所求椭圆的方程为 0 t t 3 y 4 x 2 2 ， 因为椭圆过点（2， 3 ） ， 所以 2 3 3 4 2 t 2 2 ， 故所求椭圆标准方程为 1 6 y 8 x 2 2 。 点评：在求椭圆的标准方程时，会遇到焦点位置不确定而有两种结果的情况，这时应注 意分类讨论仔细体会（1） 、 （2）两小题中的答案可见， （1）中两个椭圆不仅焦点位置不同， 而且椭圆大小形状也不一样，而（2）中两个椭圆只是焦点位置不同，大小形状一样，像 （2）小题中的情形，可先求出焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，然后把 x， y 交换即可得焦 点在 y 轴上的椭圆方程，但（1）小题是不可以的，要注意区别由于分类讨论较复杂，因此 在处理椭圆焦点位置不确定的情况时，有时可直接设椭圆方程为 2 2 Ax By 1或由已知条 件设椭圆系方程（ 2 2 2 2 ( 0) x y a b ）来求解，如（3） 、 （4）两小题，这样可避免讨论 和复杂的计算。例 3. 已知椭圆 0 m m y 3 m x 2 2 的离心率 2 3 e ，求 m的值及椭圆的长轴和短 轴的长、焦点坐标、顶点坐标。 解析：椭圆方程可化为 1 3 m m y m x 2 2 。 3 m m m 0 3 m 2 m m ， 3 m m m 。 即 m a 2 ， 3 m m b 2 ， 2 2 b a c 3 m 2 m m 。 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有中国教育考试资源网 由 2 3 e ，得 2 3 3 m 2 m ， 1 m 。 椭圆的标准方程为 1 4 1 y x 2 2 。 1 a ， 2 1 b ， 2 3 c 。 椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标分别为 0 , 2 3 F 1 ， 0 , 2 3 F 2 ；四 个顶点分别为 0 , 1 A 1 ， 0 , 1 A 2 ， 2 1 , 0 B 1 ， 2 1 , 0 B 2 。 点评：（1）要掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。 （2）离心率 2 2 e 1 a b a b 1 a c e 。 （3）通过解关于 a，c 的齐次方程也可求离心率。例 4. 如图 1。某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道 全长 5 . 2 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 （1）若最大拱高 h为 6米，则隧道设计的拱宽 l是多少？ （2）若最大拱高 h不小于 6米，则应如何设计拱高 h和拱宽 l，才能使这半个椭圆隧道 的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为 lh 4 S ，柱体体积为：底面积 高 ，本题结 果均精确到 1 . 0 米） 解析：（1）如图 2建立直角坐标系，则点 P（11， 5 . 4 ） ， 椭圆方程为 1 b y a x 2 2 2 2 ， 将 6 h b 代入椭圆方程， 得 7 7 44 a ，此时 3 . 33 7 7 88 a 2 l ， 因此隧道的拱宽约为 3 . 33 米。 上教考资源网 助您教考无忧 版权所有中国教育考试资源网 （2）将点 P（11， 5 . 4 ）代入椭圆方程 1 b y a x 2 2 2 2 ， 得 1 b 5 . 4 a 11 2 2 2 2 ， 因为 ab 5 . 4 11 2 b 5 . 4 a 11 2 2 2 2 ， 即 99 ab ，且 a 2 l ， b h ， 所以 2 99 2 ab lh 4 S ， 当 S 取最小值时，有 2 1 b 5 . 4 a 11 2 2 2