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1 第一章 习题1 证明 恒等式 e jt ks kt js ist ijk e e 证明 jt ks kt js kt js jt ks jt ks kt js jt ks kt js it js jt is ki it ks kt is ji jt ks kt js ii kt ks ki jt js ji it is ii ist ijk e e 3 3 习题2 证明若 ,则 ji ij ji ij b b a a ; 0 ij ij b a 证明 , ji ij ji ij b b a a ; Q ji ji ij ij b a b a 0 pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标, ,所以 ,即 ij ij pq pq b a b a 0 2 aijbij 0 ij ij b a 习题 3 已知某一点的应力分量 , , , 不为零,而 ,试求过该点和 z 轴,与 xx yy zz xy 0 yz xz x轴夹角为 的面上的正应力和剪应力。 解 如图 1.1,过该点和 z 轴,与 x轴夹角为 的面的法线,其与 x轴,y轴和 z 轴的方向余弦分别为 cos,sin,0,则由斜面应力公式的分量表达式, ,可求得该面上的应力为 ij i j ) ( sin cos 1 1 ) ( xy xx j j sin cos 2 2 ) ( yy yx j j 0 3 3 j j v ) ( 由斜面正应力表达式 ,可求得正应力为 j i ij n ? 2 2 sin sin cos 2 cos yy xy xx n 剪应力为 2 cos 2 sin ) ( 2 1 2 2 ) ( ) ( xy xx yy n n n n2 习题4 如已知物体的表面由 确定,沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷 0 ) , , ( z y x f 。试写出其边界条件。 z y x p , , 解 物体表面外表面法线的方向余弦为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , cos , cos , cos z y x z z y x y z y x x f f f f z n n f f f f y n m f f f f x n l 带入应力边界条件, ,得 3 , 2 , 1 , , j i n T j ij i 0 0 0 p f f f f p f f f f p f zz z yy y xz x yz z yy y yx x xz z xy y xx x 习题 5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为 , , , , , ,试求该点以柱坐标 xx yy zz xy xz yz 表示的应力分量。 解 如图 1.2,两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示: x y z r cos sin 0 -sin cos 0 z 0 0 1 注意 由应力分量转换公式 ,求得 jn i m ij n m cos sin 2 sin cos 2 2 xy yy xx rr cos sin 2 cos sin 2 2 xy yy xx zz zz r xy yy xx r ) sin (cos cos sin cos sin 2 2 z zx yx z sin cos cos sin zx yz zr 利用三角公式可将上面的式子改写为 2 sin 2 cos 2 2 xy yy xx yy xx rr 2 sin 2 cos 2 2 xy yy xx yy xx 3 zz zz 2 cos 2 sin 2 xy yy xx r z zx yx z sin cos cos sin zx yz zr 习题6 一点的应力状态由应力张量 给定,式中, , , 为常数, 是某应力 c b c a b a ij a b c 值,求常数 , , ,以使八面体面 上的应力张量为零 a b c ) e e e ( n 3 2 1 3 1 解 由斜面应力公式的分量表达式, ,知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组: ij i j ) ( 0 3 1 0 3 1 0 3 1 ) ( , ) ( , ) ( c b c a b a 解得 2 1 c b a 习题7 证明(1)应力的三个主方向互相垂直;(2)三个主应力 , , 必为实根 1 2 3 证明 (1)设任意两个不同的主应力为 、 ,对应的主方向为 、 。根据主应力定义有: k l k n l n , k k (k) n n k l k l l n n ) ( 将以上两式分别点乘 和 再相减,得 k n l n k l l k k l k n n n n n n n n l k l 是对称应力张量,上式可改写为 l k n n ) ( l k 0 所以应力的三个主方向互相垂直 (2)设任意两个不同的主应力为 、 ,对应的主方向为 、 k l ) , , ( n 1 1 1 n m l k ) , , ( n l 2 2 2 n m l 0 0 2 1 2 1 2 1 n n m m l l , n n l k Q 若 为复数,则 为其共轭复数,从而方向余弦 、 互为共轭 1 2 ) , , ( n 1 1 1 n m l k ) , , ( n l 2 2 2 n m l与主方向相互垂直矛盾 0 2 1 2 1 2 1 n n m m l l 所以三个主应力必为实数 习题8 证明球形应力张量 在任意斜面上的剪应力为零,且正应力为 m m 证明 球形应力张量 ,设任意斜面的方向余弦为 3 3 2 2 1 1 e e e e e e m m m m n m l , , n4 由斜面应力公式 ,得 n (n) 3 2 1 (n) e e e m m m n m l 由斜面正应力公式 ,得 n (n) n m m n n m l ) ( 2 2 2 由斜面剪应力公式,得 0 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( m m n n n n m l n 习题9 求应力偏量张量的不变量 解 应力张量 可分解为球形应力张量 和应力偏量张量 , m S ) ( 3 1 ( 33 22 11 m 应力偏量张量 ,其主应力方程为 ,即 ) ( ) ( m ij ij ij S S n S n n S ) 3 , 2 , 1 ( 0 ) ( j S S n ij n ij i 上述方程存在非零解 的必要条件是系数行列式为零,即 i n 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 n n n S S S S S S S S S S S S 得到关于 的三次代数方程, n S 0 3 2 2 1 3 J S J S J S n n n 其中 , 和 分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量 1 J 2 J 3 J 设 , 和 为应力偏量张量的三个主值 ,则 1 S 2 S 3 S m i i S 0 3 33 22 11 33 22 11 1 m S S S J 1 3 3 2 2 1 2 12 2 31 2 23 11 11 33 33 22 22 21 12 11 33 31 13 11 33 32 23 22 2 22 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S J 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 S S S S S S S S S S S S J 习题11 设 为二阶对称张量,证明由 导出的应力一定满足无体力的平衡方程 rs pm qn jmn ipq ij e e , 证明 又 关于 , 反对称, 关于 , 对称 pmj qn jmn ipq j ij e e , , Q j jm e , Q m j pmj qn, m j ,即 满足无体力的平衡方程, 忽略体力下的平 0 , , pmj qn jmn ipq j ij e e pm qn jmn ipq ij e e , 0 , j ij 衡微分方程 习题12 已知直角坐标系中各点的应力张量 ,试求体积力分量 0 2 0 2 0 5 0 5 3 3 3 2 2 2 2 2 1 x x x x x x ij 解 根据平衡微分方程 ,得 对谁偏导的问题 3 , 2 , 1 , , 0 , j i F i j ij 5 0 0 0 z zz zy zx y yz yy yx x xz xy xx F z y x F z y x F z y x 得体积力
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