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7 2 x B(0, 4) A(6, 0) E F x y O 二次函数动点问题 1.、如图,抛物线 2 2 3 y x x 与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与 抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2 (1)求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式; (2)P 是线段 AC 上的一个动点,过 P 点作 y轴的平行线交抛物线于 E 点,求 线段 PE 长度的最大值; (3)点 G 是抛物线上的动点,在 x轴上是否存在点 F,使 A、C、F、G 这样的 四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的 F 点坐标; 如果不存在,请说明理由 2、如图,对称轴为直线 7 2 x 的抛物线经过点 A(6,0)和 B(0,4) (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点 E( x, y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与 x之间的函数关系式, 并写出自变量 x的取值范围;当平行四边形 OEAF 的面积为 24时,请判断平行四边形 OEAF 是否为菱 形?是否存在点 E,使平行四边形 OEAF 为正方形?若存在,求出点 E 的坐标; 若不存在,请说明理由 3、如图,已知与 x轴交于点 (1 0) A , 和 (5 0) B , 的抛物线 1 l 的顶点为 (3 4) C , ,抛物线 2 l 与 1 l 关于 x轴对 称,顶点为C (1)求抛物线 2 l 的函数关系式; (2)已知原点O,定点 (0 4) D , , 2 l 上的点 P与 1 l 上的点 P 始终关于 x轴对 称,则当点 P运动到何处时,以点 D O P P , 为顶点的四边形是平行四边形? (3)在 2 l 上是否存在点 M ,使 ABM 是以 AB 为斜边且一个角为30 o 的直 角三角形?若存,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由 4、已知二次函数 的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,- 2 y ax bx c 3) (1)求此函数的解析式及图象的对称轴; (2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q 从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另 一个也随之停止运动设运动时间为t秒 A 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C 1 O 2 l 1 l x y x y O A B C P Q M N当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形; 设PQ与对称轴的交点为M,过M点作x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为 S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出t的取值范围;当t为何值时,S有最大值或最小 值 5、如图,在直角坐标系 中,正方形OCBA的顶点A、C分别在 轴、 xoy y 轴上,点B坐标为(6,6),抛物线 经过点A、B两点, x 2 y ax bx c 且 3 1 a b (1)求 的值; , , a b c (2)如果动点E、F同时分别从点A、点B出发,分别沿AB、BC运 动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点F随之停止运动设运动时间为 秒, t EBF的面积为S 试求出S与 之间的函数关系式,并求出S的最大值; t 当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平 行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由 6、抛物线 的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为 2 ( 0) y ax bx c a x=2. (1)求该抛物线的解析式; (2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单 位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动, 问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的 运动速度;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使MPQ为等腰三角形?若存在,请求出 所有点M的坐标;若不存在请说明理由. 7、 如图,已知二次函数 y=ax 2 +bx+8(a0)的图像与 x 轴交于点 A(- 2,0),B,与 y 轴交于点 C,tanABC=2 (1)求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标; (2)设直线 CD 交 x 轴于点 E在线段 OB 的垂直平分线上是否 存在点 P,使得经过点 P 的直线 PM 垂直于直线 CD,且与直线 OP 的夹角为x y O H G F E 75?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; 8、如图,抛物线 ( 0)与 y轴交于点 C,与 x轴交于 A 、B 两点,点 A 在 2 3 3 y mx mx m 点 B 的左侧,且 1 tan 3 OCB (1)求此抛物线的解析式; (2)如果点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点,设 D 点的横坐 标为 x,ACD 的面积为 S,求 S 与 x的关系式,并求当 S 最大时点 D 的坐标; (3)若点 E 在 x轴上,点 P 在抛物线上,是否存在以 A、C、E、P 为顶点的平行四边形?若存在求点 P 坐标;若不存在,请说 明理由 9、已知:如图,在 EFGH中,点F的坐标是(-2,-1),EFG=45 (1)求点H的坐标; (2)抛物线 经过点 E、G、H,现将 向左平移使之经过点 F,得到 1 C 1 C 抛物线 ,求抛物线 的解析式; 2 C 2 C (3)若抛物线 与 y轴交于点 A,点 P 在抛物线 的对称轴上运动请问: 2 C 2 C 是否存在以 AG 为腰的等腰三角形 AGP?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在, 请说明理由 10、在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上, 且点 A(0,2),点 C(-1,0),如图所示,抛物线 经过点 B 2 2 y ax ax (1)求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外),使ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 (8题 图) (备用 图)C(-1,0)A (0,2)BxyO7 2 x B(0,4) A(6,0) E F x y O 答案 1.解:(1)令 y=0,解得 1 1 x 或 2 3 x A(-1,0)B(3,0); 将 C 点的横坐标 x=2 代入 2 2 3 y x x 得 y=-3,C(2,-3)直线 AC 的函数解析式是 y=- x-1 (2)设 P 点的横坐标为 x(-1x2)则 P、E 的坐标分别为:P(x,-x-1),E( 2 ( , 2 3) x x x P 点在 E 点的上方,PE= 2 2 ( 1) ( 2 3) 2 x x x x x 当 1 2 x 时,PE的最大值= 9 4 (3)存在4个这样的点F,分别是 1 2 3 4 (1,0), ( 3,0), (4 7 0), (4 7,0) F F F F , 2.解:(1)由抛物线的对称轴是 7 2 x ,可设解析式为 2 7 ( ) 2 y a x k 把 A、B 两点坐标代入上式,得 2 2 7 (6 ) 0, 2 7 (0 ) 4. 2 a k a k 解之,得 2 25 , . 3 6 a k 故抛物线解析式为 2 2 7 25 ( ) 3 2 6 y x ,顶点为 7 25 ( , ). 2 6 (2)点 ( , ) E x y 在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合 2 2 7 25 ( ) 3 2 6 y x , y0,y 表示点E到OA的距离OA 是 OEAF Y 的对角线, 2 1 7 2 2 6 4( ) 25 2 2 OAE S S OA y y V 因为抛物线与 x轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以,自变量 x的 取值范围是1 x6 根据题意,当S = 24时,即 2 7 4( ) 25 24 2 x 化简,得 2 7 1 ( ) . 2 4 x 解之,得 1 2 3, 4. x x 5 4 3 2 1 1 2 3 D 5 5 4 3 2 1 A C E M B C 1 O 2 l 1 l x y 故所求的点 E 有两个,分别为 E 1 (3,4),E 2 (4,4) 点 E 1 (3,4)满足OE = AE,所以 OEAF Y 是菱形; 点 E 2 (4,4)不满足OE = AE,所以 OEAF Y 不是菱形 当 OAEF,且 OA = EF 时, OEAF Y 是正方形,此时点 E 的 坐标只能是(3,3)而坐标为(3,3)的点不在抛物线上,故不存在这样的点 E, 使 OEAF Y 为正方形 3.解:(1)由题意知点C 的坐标为 (3 4) , 设 2 l 的函数 关系式为 2 ( 3) 4 y a x 又Q点 (1 0) A , 在抛物线 2 ( 3) 4 y a x 上, 2 (1 3) 4 0 a ,解得 1 a 抛物线 2 l 的函数关系式为 2 ( 3) 4 y x (或 2 6 5 y x x ) (2) P Q 与 P 始终关于 x轴对称, PP 与 y 轴平行 设点 P的横坐标为 m,则其纵坐标为 2 6 5 m m , 4 OD Q , 2 2 6 5 4 m m ,即 2 6 5 2 m m 当 2 6 5 2 m m 时,解得 3 6 m 当 2 6 5 2 m m 时,解得 3 2 m 当点 P运动到 (3 6 2) , 或 (3 6 2) , 或 (3 2 2) , 或 (3 2 2) , 时, P P OD ,以点 D O P P , 为顶点的四边形是平行四边形 (3)满足条件的点 M 不存在理由如下:若存在满足条件的点 M 在 2 l 上,则 90 AMB o , 30 BAM o Q (或 30 ABM o ), 1 1 4 2 2 2 BM AB 过点 M 作 ME AB 于点 E,可得 30 BME BAM o 1 1 2 1 2 2 EB BM , 3 EM , 4 OE 点 M 的坐标为 (4 3) , 但是,当 4 x 时, 2 4 6 4 5 16 24 5 3 3 y 不存在这样的点 M 构成满足条件的直角三角形 4(1)二次函数 的图象经过点 C(0,-3), 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C 1 O 2 l 1 l x yc =-3 将点 A(3,0),B(2,-3)代入 得 解得:a=1,b=-2 -2 分 配方得: ,
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