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1 北京市延庆县 2013 届高三一模统考 数学(文科) 2013年3月 本试卷共4页,满分 120分,考试时间120分钟 第卷(选择题)一、选择题:本卷共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ,则M N I = 1 2 | , 1 | x x N x x M A. B. C. D. 0 | x x 1 | x x 1 0 | x x 2命题“ ”的否定是 x e R x x , A B x e R x x , x e R x x , C D x e R x x , x e R x x , 3. 已知等差数列 ,等比数列 ,则该等差数列的公差为 b a, , 1 5 , 2 , 3 b a A3或 B3或 C D 3 1 3 3 4.已知函数 ,则 0 , 3 0 , log ) ( 4 x x x x f x ) 16 1 ( f f A. B. C. D. 9 9 1 9 9 1 5. 已知圆的方程为 ,设该圆过点 的最长弦和最短弦 0 8 6 2 2 y x y x ) 5 , 3 ( 分别为 和 ,则四边形 的面积为 AC BD ABCD A. B. C. D. 6 10 6 20 6 30 6 40 6.已知直线 , ,则“ ”是“ ” 0 1 ) 1 ( : 1 y a ax l 0 2 : 2 ay x l 2 a 2 1 l l A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件2 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是 A B. C D. 2 2 2 3 3 2 8.已知函数 的两个 ) ( 2 ) ( ) ( 2 b a ab x b a x x f 零点为 ,则实数 的大小关系是 ) ( , , , ,b a A. B. C. D. b a b a b a b a 第卷(非选择题) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 已知 , ,向量 与 的夹角为 ,则 . 1 | | a r 2 | | b r a r b r o 60 | | b a r r 10. 若复数 (为虚数单位)为纯虚数, i m m m z ) 1 ( ) 2 ( 2 其中 ,则 . m R m 11. 执行如图的程序框图,如果输入 ,则输出的S . 6 p 12.在 中, 依次是角 的对边,且 . ABC c b a , , C B A , , c b 若 ,则角 . 6 , 3 2 , 2 A c a C 13. 设 y x, 满足约束条件 ,若 ,则 的取值范围是 3 2 3 2 2 1 y x y x y x 2 2 4y x z z. 14. 已知定义在正整数集上的函数 满足以下条件: ) (n f (1) ,其中 为正整数;(2) . ( ) ( ) ( ) f m n f m f n mn , m n 6 ) 3 ( f 则 . ) 2013 ( f (7 题图)3 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 15. (本小题满分13分) 已知 x x x f 2 sin 2 2 sin 3 ) ( . ()求 的最小正周期和单调递增区间; ) (x f ()若 ,求 的最小值及取得最小值时对应的 的取值 6 , 0 x ) (x f x 16.(本小题满分14分) 如图,四棱锥 的底面 为菱形, , 底面 , ABCD P ABCD o 60 ABC PA ABCD , 为 的中点. 2 AB PA E PA ()求证: 平面 ; / PC EBD ()求三棱锥 的体积 ; PAD C PAD C V ()在侧棱 上是否存在一点 ,满足 平面 , PC M PC MBD 若存在,求 的长;若不存在,说明理由. PM PEABCDM4 17. (本小题满分13分) 某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市1565 岁的人群抽 样了 人,回答问题统计结果如图表所示 n ()分别求出 的值; y x b a , , , ()从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第 2,3,4组每组应各抽取多少人? ()在()的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人 颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率5 18. (本小题满分13分) 已知函数 . ax x x a x f 2 2 2 1 ln 2 ) ( ) ( R a ()当 时,求曲线 在点 的切线方程; 1 a ) (x f y ) 1 ( , 1 ( f ()讨论函数 的单调性. ) (x f 19. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系 中,椭圆 的中心为原点,焦点 在 轴上, xOy C 2 1 ,F F x 离心率为 .过 的直线交椭圆 于 两点,且 的周长为 .过定点 2 1 1 F C B A, 2 ABF 8 的直线 与椭圆 交于 两点(点 在点 之间). ) 3 , 0 ( M 1 l C H G, G H M , () 求椭圆 的方程; C ()设直线 的斜率 ,在 轴上是否存在点 ,使得以 、 1 l 0 k x ) 0 , (m P PG 为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出 的取值范围;如果不 PH m 存在,请说明理由. 20. (本小题满分13分) 是由定义在 4 , 2 上且满足如下条件的函数 ) (x 组成的集合: A (1)对任意 2 , 1 x ,都有 ) 2 , 1 ( ) 2 ( x ; (2)存在常数 ) 1 0 ( L L ,使得对任意的 2 , 1 , 2 1 x x ,都有 ) 2 ( | 1 x | ) 2 ( 2 x . | | 2 1 x x L 6 ()设 4 , 2 , 1 ) ( 3 x x x ,证明: A x ) ( ; ()设 A x ) ( ,如果存在 ) 2 , 1 ( 0 x ,使得 ) 2 ( 0 0 x x ,那么这样的 0 x 是唯 一的. 高三数学(文科答案) 2013年3月 一、选择题: D D C B B A D A ) 0 4 8 5 ( 二、填空题: ) 0 3 6 5 ( 9. 10. 11. 12. 13. 14. 7 2 32 31 o 120 2 53 , 5 4 2027091 三、解答题: 15. (本小题满分13分) 解:() 1 2 cos 2 sin 3 ) ( x x x f4 1 ) 6 2 sin( 2 x 分, 最小正周期为 . 5 Q 2 2 T ) (x f 分由 ,得 6分 k x k 2 2 6 2 2 2 ) ( Z k 7分 k x k 2 3 2 2 3 2 78 k x k 6 3 分 单调递增区间为 . 9分 ) (x f ) ( 6 , 3 Z k k k ()当 时, , 10 6 , 0 x 2 , 6 6 2 x 分 在区间 单调递增, ) (x f 6 , 0 11分 ,对应的 的取值为 . 13 0 ) 0 ( ) ( min f x f x 0 分 16.(本小题满分14分) ()证明:设 、 相交于点 ,连结 , AC BD F EF Q底面 为菱形, 为 的中点, ABCD F AC 又 为 的中点, . 3 分 Q E PA PC EF / 又 平面 , 平面 , Q EF EBD PC EBD PEABCDMF8 平面 . 5分 / PC EBD ()解:因为底面 为菱形, ,所以 是边长为 正三 ABCD o 60 ABC ACD 2 角形, 又因为 底面 ,所以 为三棱锥 的高, PA ABCD PA ACD P . 8分 PAD C V 3 3 2 2 2 4 3 3 1 3 1 2 PA S V ACD ACD P ()解:因为 底面 ,所以 , PA ABCD BD PA 又Q底面 为菱形, , ABCD BD AC , 平面 , 平面 , A AC PA I PA PAC AC PAC 平面 , . 10 BD PAC PC BD 分 在 内,易求 , , PBC 2 2 PC PB 2 BC 在平面 内,作 ,垂足为 , PBC PC BM M 设 ,则有 ,解得 . 12分 x PM 2 2 ) 2 2 ( 4 8 x x 2 2 2 2 3 x 连结 , , , , 平面 , MD BD PC Q PC BM B BD BM I BM BDM 平面 , 平面 . BD BDM PC BDM 所以满足条件的点 存在,此时 的长为 . M PM 2 2 3 14分
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