第三节圆的方程1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 2初步了解用代数方法处理几何问题的思想 知识点一 圆的方程 1圆的定义 在平面内，到_的距离等于_的点的_叫圆 2圆的标准方程 (xa) 2 (yb) 2 r 2 (r0)，其中_为圆心，_为半径 3圆的一般方程 x 2 y 2 DxEyF0表示圆的充要条件是_，其中圆心为_， 半径为_ 答案 1定点 定长 集合 2.(a，b) r 3D 2 E 2 4F0 ( ， ) D 2 E 2 1 2 D2E24F 1圆x 2 y 2 4x6y0的圆心坐标是_ 解析：圆的方程可化为(x2) 2 (y3) 2 13，所以圆心坐标是(2，3) 答案：(2，3) 2以线段AB：xy20(0x2)为直径的圆的方程为_ 解析：易得线段AB的中点，即圆心为(1,1)，圆的半径r ，圆的方程为(x1) 2 2 (y1) 2 2. 答案：(x1) 2 (y1) 2 2 3 “方程x 2 y 2 4mx2y5m0表示圆”的充要条件是_解析：方程x 2 y 2 4mx2y5m0可化为(x2m) 2 (y1) 2 4m 2 5m1，它表示圆 的充要条件是4m 2 5m10，即m1. 1 4 答案：m1 1 4 知识点二 点Mx 0 ，y 0 与圆xa 2 )yb 2 r 2 的位置关系 1若M(x 0 ，y 0 )在圆外，则_ 2若M(x 0 ，y 0 )在圆上，则_ 3若M(x 0 ，y 0 )在圆内，则_ 答案 1(x 0 a) 2 (y 0 b) 2 r 2 2(x 0 a) 2 (y 0 b) 2 r 2 3(x 0 a) 2 (y 0 b) 2 0)上一动点，PA，PB是圆C：x 2 y 2 2y0 的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( ) A1 B3 C2 D 2 (2)(2017长春模拟)若直线yxb与曲线y3 有公共点，则b的取值范围 4xx2 是_ 解析：(1)圆C的方程可化为x 2 (y1) 2 1，因为四边形PACB的最小面积是2，且此 时切线长为2，故圆心(0,1)到直线kxy40的距离为 ，即 ，解得 5 5 1k2 5 k2，又k0，所以k2. (2)由y3 ，得(x2) 2 (y3) 2 4(1y3)所以曲线y3 是 4xx2 4xx2 半圆，如图中实线所示 当直线yxb与圆相切时， 2.所以b12 .由图可知b12 .所以 |23b| 2 2 2 b的取值范围是12 ，3 2 答案：(1)C (2)12 b3 21确定一个圆的方程，需要三个独立条件 “选形式，定参数”是求圆的方程的基本方 法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几 何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质 2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算 3求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题， 不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角 形，利用勾股定理解题 用化归思想求与圆有关的最值问题 【例】 已知圆C的方程为(x2) 2 y 2 4，过点A(1,0)作两条互相垂直的直线 l 1 ，l 2 ，l 1 交圆于E，F两点，l 2 交圆于G，H两点 (1)求|EF|GH|的最大值； (2)求四边形EGFH面积的最大值 【分析】 (1)将|EF|GH|用圆心到两弦的弦心距表示，再利用基本不等式求最值； (2)四边形EGFH的面积即 |EF|GH|，求其最大值的问题也需要转化为圆心到两弦的 1 2 弦心距问题 【解】 (1)设圆心C到EF的距离为d 1 ，到GH的距离为d 2 ，则 |EF|GH|2( )， 4d2 1 4d2 2 又d d |CA| 2 1， 2 1 2 2 ， 4d2 1 4d2 2 2 8d2 1d2 2 2 81 2 14 2