1 第4节 双曲线 【选题明细表】 知识点、方法 题号 双曲线定义和标准方程 1,6,9,11,14 双曲线的几何性质 2,3,4,5,7,10,12 双曲线的综合问题 8,13,15 基础对点练(时间:30分钟) 1.已知方程 - =1表示双曲线,则的取值范围是( C ) 2 2+ 2 1+ (A)(-,-2) (B)(1,+) (C)(-,-2)(-1,+) (D)(-1,+) 解析:根据题意知(2+)(1+)0, 解得-1或2, 所以e= = .故选C. 1+( ) 2 1+4 5 4.(2016邯郸模拟)已知点A,B是双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上除顶点外的一点, 记k PA ,k PB 分别表示直线PA,PB的斜率,若k PA k PB =,则该双曲线的离心率为( C ) (A)3 (B)2 (C) (D) 3 2 解析:由题意知A(-a,0),B (a,0), 设P(m,n),所以k PA k PB = = , 0 + 0 2 2 2 又点P在双曲线上,所以 -=1, 2 22 化简得n 2 = , 2 ( 2 2 ) 2 所以k PA k PB =. 所以e= =.故选C. 1+ 2 2 5.(2015石家庄二检)已知F是双曲线 -=1(a0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线 2 3 2 C上一点,则POF的大小不可能是( C ) (A)15 (B)25 (C)60 (D)165 解析:因为两条渐近线y= x的倾斜角分别为30,150, 3 3 所以0POF2时,设双曲线右 支上任意一点P(x,y),|PA| 2 =(x-m) 2 +y 2 =(x-m) 2 +-1|AN| 2 = (2-m) 2 ,化简得(2x-4)mx 2 -5,当x=2时,不等式恒成立,当x2时,m(x+2),故m;同理, 当m0,b0), 因为点A在双曲线上, 所以=1,即a 2 =9. 因为A,B两点恰好将此双曲线的焦距三等分. 所以双曲线的焦点为(0,-9),(0,9). a 2 +b 2 =81, 所以b 2 =72. 此双曲线的标准方程为- =1. 2 724 答案:- =1 2 72 12. (2015贵阳监测)已知点P是双曲线C:-=1(a0,b0)左支上一点,F 1 ,F 2 是双曲线的左、 右两个焦点,且PF 1 PF 2 ,PF 2 与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF 2 , 则双曲线的离心率是 . 解析:由题意可知,ON为PF 1 F 2 的中位线, 所以PF 1 ON, 所以tanPF 1 F 2 =tanNOF 2 =k ON =, 所以 | 2 | | 1 | = , | 1 | 2 +| 2 | 2 =| 1 2 | 2 =4 2 , 解得 | 1 |=2 , | 2 |=2 . 又|PF 2 |-|PF 1 |=2a, 所以2b-2a=2a,b=2a,c= = a, 2 + 2 5 e= . 5 答案: 5 13.(2016大连双基测试)已知离心率e= 的双曲线C:- =1(a0,b0)的右焦点为F,O为坐 5 2 标原点,以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于O,A两点,若AOF的面积为4, 则a的值为 . 解析:因为e= = , 1+( ) 2 5 2 所以=, =, | | | | 设|AF|=m,则|OA|=2m,S AOF =m2m=4, 所以m=2,由勾股定理, 得c= =2 , 2 +(2 ) 2 5 又= ,所以a=4. 5 2 答案:4 【教师备用】 (2016日照模拟)已知F 1 ,F 2 为双曲线-=1(a0,b0)的焦点,过F 2 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P和Q.且F 1 PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为 . 解析:设F 2 (c,0)(c0),P(c,y 0 ),5 代入双曲线方程得y 0 =, 因为PQx轴,所以|PQ|= . 2 2 在RtF 1 F 2 P中,PF 1 F 2 =30, 所以|F 1 F 2 |= |PF 2 |,即2c= . 3 3 又因为c 2 =a 2 +b 2 , 所以b 2 =2a 2 或2a 2 =-3b 2 (舍去). 因为a0,b0, 所以= . 2 故所求双曲线的渐近线方程为y= x. 2 答案:y= x 2 能力提升练(时间:15分钟) 14.(2015开封摸底考试)从双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F引圆x 2 +y 2 =a 2 的切线,切点为T, 延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的 关系为( C ) (A)|MO|-|MT|b-a (B)|MO|-|MT|0,y 0 0)满足 = 1 1 | 1| ,则 - 等于( C ) 2 1 1 | 2 1| 1 2 (A)-1 (B)1 (C)2 (D)46 解析:由条件,得F 1 (-3,0),F 2 (3,0). 因为 = , 1 1 | 1 | 2 1 1 | 2 1| 所以 = ( 3 0 , 0 )( 3 2, 1) ( 3 0 ) 2 + 2 0 ( 3 3,0)( 3 2, 1) 6 即 =5, 15+5 0 + 0 2 0 +6 0 +9+ 2 0 化简整理,得y 0 = x 0 + , 5 12 15 12 又P在双曲线上,所以把代入双曲线-=1, 解得x 0 =3(负值舍去), 所以P(3,), 所以直线PF 1 的方程为5x-12y+15=0, 所以点M到直线PF 1 的距离d= =1. |52 12+15| 5 2 +( 12) 2 易知点M到x轴、直线PF 2 的距离均为1, 所以点M是PF 1 F 2 的内心, 所以 - =(| |-| |)1 1 2 1 2 =41 =2, 故选C. 【教师备用】如图,已知双曲线-=1(a0,b0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为 双曲线的右焦点,且满足AFBF,设ABF=( ,),则双曲线的离心率e的取值范围 12 为 . 解析:设左焦点为F,令|AF|=r 1 , |AF|=r 2 ,则|BF|=|FA|=r 2 , 所以r 2 -r 1 =2a, 因为点A关于原点O的对称点为B,AFBF, 所以|OA|=|OB|=|OF|=c, 所以 + =4c 2 , 2 2 2 1 所以r 1 r 2 =2(c 2 -a 2 ),