1 8.5 空间向量及其应用、空间角 考点一 空间角与距离 14.(2014天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面 ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点. (1)证明BEDC; (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值; (3)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求二面角F-AB-P的余弦值. 解析 解法一: 依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得 B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1). (1)证明:向量=(0,1,1),=(2,0,0),故=0. 所以BEDC. (2)向量=(-1,2,0),=(1,0,-2).设n=(x,y,z)为平面PBD的法向量, 则即不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量.于是有 cos=. 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为. (3)向量=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0).由点F在棱PC上,设=,01. 故=+=+=(1-2,2-2,2).由BFAC,得=0,因此,2(1-2)+2(2-2)=0,解得=.即 =.设n 1 =(x,y,z)为平面FAB的法向量,则即 不妨令z=1,可得n 1 =(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n 2 =(0,1,0), 则 cos=-. 易知,二面角F-AB-P是锐角,所以其余弦值为. 解法二:2 (1)证明:如图,取PD的中点M,连结EM,AM. 由于E,M分别为PC,PD的中点,故EMDC,且EM=DC,又由已知,可得EMAB且EM=AB,故四 边形ABEM为平行四边形,所以BEAM. 因为PA底面ABCD,故PACD,而CDDA, 从而CD平面PAD,因为AM平面 PAD,于是CDAM,又BEAM,所以BECD. (2)连结BM,由(1)有CD平面PAD,得CDPD,而EMCD,故PDEM.又因为AD=AP,M为PD 的中点,故PDAM,可得PDBE,所以PD平面BEM,故平面BEM平面PBD.所以直线BE在 平面PBD内的射影为直线BM,而BEEM,可得EBM为锐角,故EBM为直线BE与平面PBD 所成的角. 依题意,有PD=2,而M为PD的中点,可得AM=,进而BE=.故在直角三角形BEM中, tanEBM=,因此sinEBM=. 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为. (3)如图,在PAC中,过点F作FHPA交AC于点H.因为PA底面ABCD,故FH底面ABCD, 从而FHAC.又BFAC,得AC平面FHB,因此ACBH.在底面ABCD内,可得CH=3HA,从而 CF=3FP.在平面PDC内,作FGDC交PD于点G,于是DG=3GP.由于DCAB,故GFAB,所以 A,B,F,G四点共面.由ABPA,ABAD,得AB平面PAD,故ABAG.所以PAG为二面角F- AB-P的平面角. 在PAG中,PA=2,PG=PD=,APG=45,由余弦定理可得AG=,cosPAG=. 所以二面角F-AB-P的余弦值为. 评析 本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、直线与平面所成的角,直线与平面 垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力 和推理论证能力. 15.(2014重庆,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面 ABCD,AB=2,BAD=,M为BC上一点,且BM=,MPAP. (1)求PO的长; (2)求二面角A-PM-C的正弦值.3 解析 (1)如图,连结AC,BD,因为ABCD为菱形,则ACBD=O,且ACBD.以O为坐标原点, 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz. 因为BAD=,故OA=ABcos=,OB=ABsin=1, 所以O(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),=(0,1,0),=(-,-1,0). 由BM=,BC=2知,=, 从而=+=, 即M. 设P(0,0,a),a0, 则=(-,0,a),=. 因为MPAP,故=0,即-+a 2 =0,所以a=或a=-(舍去),即PO=. (2)由(1)知,=,=,=. 设平面APM的法向量为n 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ),平面PMC的法向量为n 2 =(x 2 ,y 2 ,z 2 ), 由n 1 =0,n 1 =0,得 故可取n 1 =, 由n 2 =0,n 2 =0,得 故可取n 2 =(1,-,-2), 从而法向量n 1 ,n 2 的夹角的余弦值为 cos=-, 故所求二面角A-PM-C的正弦值为. 16.(2013江西,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的 中点,DABDCB,EA=EB=AB=1,PA=,连结CE并延长交AD于F. (1)求证:AD平面CFG; (2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值. 解析 (1)在ABD中,因为E是BD中点,所以EA=EB=ED=AB=1,故BAD=,ABE=AEB=, 因为DABDCB,所以EABECB, 从而有FED=BEC=AEB=,所以FED=FEA, 故EFAD,AF=FD,又因为PG=GD,所以FGPA. 又PA平面ABCD, 所以GFAD,故AD平面CFG.4 (2)以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C,D(0,0),P, 故=,=,=. 设平面BCP的一个法向量n 1 =(1,y 1 ,z 1 ), 则 解得 即n 1 =. 设平面DCP的一个法向量n 2 =(1,y 2 ,z 2 ), 则解得 即n 2 =(1,2).从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos =. 17.(2012大纲全国,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA底面 ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC. (1)证明:PC平面BED; (2)设二面角A-PB-C为90,求PD与平面PBC所成角的大小. 解析 解法一: (1)因为底面ABCD为菱形,所以BDAC, 又PA底面ABCD,所以PCBD.(2分) 设ACBD=F,连结EF.因为AC=2,PA=2,PE=2EC,故PC=2,EC=,FC=,从而=,=. 因为=,FCE=PCA,所以FCEPCA,FEC=PAC=90,由此知PCEF. PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC平面BED.(6分)5 (2)在平面PAB内过点A作AGPB,G为垂足. 因为二面角A-PB-C为90,所以平面PAB平面PBC. 又平面PAB平面PBC=PB,故AG平面PBC,AGBC. BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC平面PAB,于是BCAB,所以底面ABCD 为正方形,AD=2,PD=2.(8分) 设D到平面PBC的距离为d. 因为ADBC,且AD平面 PBC,BC平面PBC,故AD平面PBC,A、D两点到平面PBC的距离 相等,即d=AG=. 设PD与平面PBC所成的角为,则sin =. 所以PD与平面PBC所成的角为30.(12分) 解法二: (1)以A为坐标原点,AC所在直线为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 设C(2,0,0),D(,b,0),其中b0,则P(0,0,2),E,B(,-b,0).(2分) 于是=(2,0,-2),=,=,从而=0,=0,故PCBE,PCDE. 又BEDE=E,所以PC平面BDE.(6分) (2)=(0,0,2),=(,-b,0). 设m=(x,y,z)为平面PAB的法向量,则m=0,m=0,即2z=0且x-by=0, 令x=b,则m=(b,0). 设n=(p,q,r)为平面PBC的法向量,则n=0,n=0,即2p-2r=0且+bq+r=0, 令p=1,则r=,q=-,n=. 因为面PAB面PBC,故mn=0,即b-=0,故b=,于是n=(1,-1,),=(-,-,2), cos=,=60. 因为PD与平面PBC所成角和互余,故PD与平面PBC所成的角为30.(12分) 评析 本题考查了线面垂直的判定及线面角的求法;考查了空间想象能力.本题“找”线面 角困难,因此要用“算”的方法. 18.(2012江西,19,12分)在三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,已知AB=AC=AA 1 =,BC=4,点A 1 在底面ABC 的投影是线段BC的中点O. (1)证明在侧棱AA 1 上存在一点E,使得OE平面BB 1 C 1 C,并求出AE的长; (2)求平面A 1 B 1 C与平面BB 1 C 1 C夹角的余弦值.6 解析 (1)证明:连结AO,在AOA 1 中,作OEAA 1 于点E,因为AA 1 BB 1 ,得OEBB 1 , 因为A 1 O平面ABC,所以A 1 OBC. 因为AB=AC,OB=OC,得AOBC,所以BC平面AA 1 O,所以BCOE,所以OE平面BB 1 C 1 C, 又AO=1,AA 1 =,得AE=. (2)如图,分别以OA,OB,OA 1 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), B(0,2,0),C(0,-2,0),A 1 (0,0,2). 由=得点E的坐标是, 由(1)得平面BB 1 C 1 C的一个法向量是=, 设平面A 1 B 1 C的法向量n=(x,y,z), 由 得 令y=1,得x=2,z=-1, 即n=(2,1,-1), 所以cos=, 即平面BB 1 C 1 C与平面A 1 B 1 C的夹角的余弦值是. 评析 本题主要考查的知识点:线面垂直的判定和性质以及距离和二面角的计算;考查了推 理论证能力、空间想象能力;利用的方法有:法向量法. 19.(2015湖北,19,12分)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱 锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EFPB交PB于 点F,连结DE,DF,BD,BE. (1)证明:PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写 出结论);若不是,说明理由; (2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.7 解析 解法一:(1)因为PD底面ABCD,所以PDBC, 由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCD=D, 所以BC平面PCD,而DE平面 PCD,所以BCDE. 又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC. 而PCBC=C,所以DE平面PBC. 而PB平面 PBC,所以PBDE. 又PBEF,DEEF=E,所以PB平面DEF. 由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形, 即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB. (2)如图,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线. 由(1)知,PB平面DEF,所以PBDG. 又因为PD底面ABCD,所以PDDG. 而PDPB=P,所以DG平面PBD. 故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角, 设PD=DC=1,BC=,有BD=