江南片区高等数学(下)联考试题 第 0页（共 6页）密封线年级： 专业： 班级： 姓名： 学号： 装订线高等数学 （下） （A） 考试题 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分数 评阅人 一. 单项选择题(本题共有6个小题，每小题3分，共18分) 1 （ ） 2 2 0 0 lim x y xy x y （A） （B） （C） （D）不存在 0 1 1 2 2设 在 处两个偏导数都存在，则 在 处一定（ ( , ) z f x y 0 0 ( , ) x y ( , ) f x y 0 0 ( , ) x y ） （A）极限存在 （B）连续 （C）可微 （D）以上答案都不正确 3函数 在点 处的梯度等于（ ） 2 ) , ( xy y x f (0,1) （A） （B） （C） （D） (1,0) ) 0 , 2 ( (0,1) ) 2 , 0 ( 4已知D： ， 是D在第一象限部分区域，则积分 ) 0 ( 2 2 2 a a y x 1 D （ ） D dxdy y x ) 1 （ （A） （B） （C） （D）0 1 ) 1 ( 4 D dxdy y x 1 ) 1 ( D dxdy y x 2 a 5、设常数 ，则无穷级数 （ ） 0 k 0 3 ) 1 ( n n n k （A）发散， （B）条件收敛， （C）绝对收敛， （D）其敛散性与 有关。 k 6微分方程 的待定系数特解形如（ ） 3 2 (5 4) x y y y x e （A） (B) ( ) x y ax b e ( ) x y x ax b e （C） (D) 2 ( ) x y x ax b e 2 ( ) x y ax b e 江南片区高等数学(下)联考试题 第 1页（共 6页） 二 填空题(本题共有6个小题，每小题3分，共18分) 1函数 在点 处的全微分 _。 y z x ( ,1) e ( ,1) e dz 2曲面 在点 处的切平面方程是_。 1 xy yz zx ( 1, 2,3) 3将 化为极坐标系下的二次积分，则 2 2 0 2 2 0 ) ( x a a dy y x f dx I I _。 4设 为圆周 ，则 = 。 L 2 2 4 x y ds y x L 2 2 2 ) ( 1 5微分方程 的通解为_ _ _。 y y 6设 是以 为周期的周期函数，在 上的表达式为 ) (x f 2 ) , ，则 的傅立叶级数在 处收敛于 。 x x x x f 0 , 0 , 2 ) ( 2 ) (x f 6 x 三求偏导数与全微分(本题共有2个小题，每小题6分，共12分) 1设 ，求 及 2 2 arctan ln x z x y y z x 2 z x y 2设方程 确定了隐函数 ，其中 具有一阶连续偏导数， ( , , ) z f x y x y z ( , ) z z x y f 求全微分dz江南片区高等数学(下)联考试题 第 2页（共 6页） 四计算题一(本题共有2个小题，每小题7分，共14分) 1求 ，其中 是由曲线 与直线 、 所围成的闭区域。 I 2 2 D x d y D 1 xy 2 x x y 2求 ，其中 为抛物线 I 3 2 2 2 (2 cos ) (1 2 sin 3 ) L xy y x dx y x x y dy L 上点 到 的一段弧。 2 2x y (0,0) ( ,1) 2 江南片区高等数学(下)联考试题 第 3页（共 6页） 五计算题二(本题共有2个小题，每小题7分，共14分) 1求曲面积分 ，其中 是上半球面 dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz I ) 2 ( ) ( 2 3 2 2 （ ） ，取上侧。 2 2 2 y x a z 0 a 2求微分方程 的通解 x e x y y x 2 sin / cos tan 江南片区高等数学(下)联考试题 第 4页（共 6页） 六无穷级数(本题共有2个小题，每小题7分，共14分) 1.求幂级数 的收敛域及和函数 1 2 n n n n x 2.将函数 展开成 的幂级数 2 3 1 ) ( 2 x x x f ) 1 ( x江南片区高等数学(下)联考试题 第 5页（共 6页） 七应用题(本题共有2个小题，每小题5分，共10分) 1某养殖场饲养甲、乙两种鱼，若甲种鱼放养 （万尾） ，乙种鱼放养 （万尾） ，收获时 x y 两种鱼的产鱼总量为 ，求使产鱼总量为最大时，两种鱼各 2 2 3 4 2 3 2 z x y x y xy 自的放养数。 2设函数 连续，且满足： ，求 ) (x x x x dt t x dt t t e x 0 0 ) ( ) ( ) ( ) (x 一 单项选择题(每小题3分，共18分) 1D，2D，3A，4C，5C，6B 二 填空题(每小题3分，共18分) 1 ，2 ，3 ，4 ，5 dx edy 5 2 2 0 x y z a d f d I 0 2 2 0 ) ( 4 ，61（重邮） ， （重交大） 1 2 3 x y Ce C x C 1 2 2 2 2 z y x 三求偏导数与全微分(本题共有2个小题，每小题6分，共12分) 1解： （3分） 2 2 2 2 2 1 1 1 y x y x y x x y y x x z （6分） ) ( 2 2 2 y x y x y y x z 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( y x y y x y x 2 2 2 2 2 ) ( 2 y x xy y x 江南片区高等数学(下)联考试题 第 6页（共 6页） 2解：设 , ) , , ( z y x y x f z F ， , （3） 3 1 f f F x 3 2 f f F x 3 1 f F z （5分） 1 3 2 3 3 3 , 1 1 y x z z F F f f f f z z x F f y F f （6分） 1 3 2 3 3 3 1 1 f f f f dz dx dy f f 四计算题一(本题共有2个小题，每小题7分，共14分) 1.解： （3分） 2 2 D x d y dy y x dx x x 1 2 2 2 1 = （7分） dx x y x x 2 1 1 2 ) ( dx x x 2 1 3 ) ( 4 9 1 2 ) 2 4 ( 2 4 x x 2解：设 ， ， x y xy y x P cos 2 ) , ( 2 3 2 2 3 sin 2 1 ) , ( y x x y y x Q ， （2分） x y xy y P cos 2 6 2 2 6 cos 2 xy x y x Q 故曲线积分 在 平面内与路径无关， （3分） dy y x Q dx y x P L ) , ( ) , ( xoy 选取有向折线： 为 上自 到 有向直线段， 为 上自 1 L 0 y 0 x 2 x 2 L 2 x 到 的有向直线段 0 y 1 y（4分） dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P I L L 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( = （7分） 1 0 2 2 0 ) 4 3 2 1 ( 0 2 dy y y dx 0 1 ) 4 ( 3 2 2 y y y 4 2 五计算题二(本题共有2个小题，每小题7分，共14分) 1解：设 是平面 （ ）的下侧，设 与 所围立体为 ， 1 0 z 2 2 2 a y x 1 江南片区高等数学(下)联考试题 第 7页（共 6页） ： 。 （1分） 0 , 2 2 2 2 z a z y x 由高斯公式得（2分） dV z y x I ) ( 2 2 2 1 ) 2 ( ) ( 2 3 2 2 dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz（4分） a dr r d d dV z y x I 0 4 0 2 0 2 2 2 1 2 sin ) ( 5 2 5 a 在 平面、 平面的投影为零， 在 平面的投影为 1 xoz yoz 1 xoy 2 2 2 : a y x D 1 ) 2 ( ) ( 2 3 2 2 2 dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz I 1 ) 2 ( 2 dxdy z y xy（6分） 0 2 D xydxdy（7分） 2 1 I I I 5 2 5 a 2.解： .(1), 对应的齐次方程为 .(2) x e x y y x 2 sin / cos tan 0 tan / x y y ， ， （2）的通解： （3分） xdx dy y tan 1 xdx dy y tan 1 x C y cos 设 为（1）的解，则 ， （4分） x x C y cos ) ( x x C x x C y sin ) ( cos ) ( / / 代入（1）可得 ， （6分） x e x C x cos ) ( sin / C e x C x sin ) ( 方程（1）的通解：