1 2016-2017学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间 向量的正交分解及其坐标表示高效测评 新人教A版选修2-1 一、选择题(每小题5分，共20分) 1以下四个命题中正确的是( ) A空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 B若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量 CABC为直角三角形的充要条件是 0 AB AC D任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 解析： 使用排除法因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表 示，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是 0，可能是 0，也可能 AB AC BC BA 是 0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故 CA CB 选B. 答案： B 2在空间中平移ABC到A 1 B 1 C 1 ，连接对应顶点，设 a， b， c，E是 AA1 AB AC BC 1 的中点，则 ( ) AE A. a b c B a b c 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1 2 C. a b c D. a b c 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 解析： 如图所示， AE AB BE ( ) AB 1 2 BB1 BC ( ) AB 1 2 BB1 AC AB 2 1 2 AB 1 2 BB1 1 2 AC a b c. 1 2 1 2 1 2 答案： C 3若向量 ， ， 的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量 ， MA MB MC MA ， 成为空间一组基底的关系是( ) MB MC A. OM 1 3 OA 1 3 OB 1 3 OC B. MA MB MC C. OM OA OB OC D. 2 MA MB MC 解析： 对于选项A，由结论 x y z (xyz1)M，A，B，C四点共面 OM OA OB OC 知， ， ， 共面；对于B，D选项，易知 ， ， 共面，故只有选项C中 ， ， 不共 MA MB MC MA MB MC MA MB MC 面 答案： C 4设OABC是四面体，G 1 是ABC的重心，G是OG 1 上的一点，且OG3GG 1 ，若 x y z ，则(x，y，z)为( ) OG OA OB OC A. B. ( 1 4 ， 1 4 ， 1 4 ) ( 3 4 ， 3 4 ， 3 4 ) C. D. ( 1 3 ， 1 3 ， 1 3 ) ( 2 3 ， 2 3 ， 2 3 ) 解析： 因为 ( ) ( )( OG 3 4 OG1 3 4 OA AG1 3 4 OA 3 4 2 3 1 2 AB AC 3 4 OA 1 4 OB OA ) ，而 x y z ，所以x ，y ，z ，故选A. OC OA 1 4 OA 1 4 OB 1 4 OC OG OA OB OC 1 4 1 4 1 4 答案： A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5已知正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，点O为AC 1 与BD 1 的交点， x y z ， AO AB BC CC1 则xyz_. 解析： ( ) AO 1 2 AC1 1 2 AB BC CC1 3 故xyz ，xyz . 1 2 3 2 答案： 3 2 6在长方体OADBCADB中，OA3，OB4，OC2，点E，F分别是 DB，DB的中点，建立如图所示空间直角坐标系，则 _， _. OE OF 解析： D(3,4,0)，B(0,4,0)， E为BD中点，E ， ( 3 2 ，4，0 ) ，B(0,4,2)，D(3,4,2)， OE ( 3 2 ，4，0 ) F为BD中点，F ， ( 3 2 ，4，2 ) . OF ( 3 2 ，4，2 ) 答案： ( 3 2 ，4，0 ) ( 3 2 ，4，2 ) 三、解答题(每小题10分，共20分) 7如图，设四面体OABC的三条棱 a， b， c，G为ABC的重心，以 OA OB OC a，b，c为空间基底表示向量 ， . BE OG 解析： 由G为ABC的重心易知E为AC的中点， ( ) ( )( ) BE 1 2 BA BC 1 2 OA OB OC OB (ab)(cb) (ac2b)， 1 2 1 2 b b (ac2b) OG OB BG 2 3 BE 1 34 (abc) 1 3 8如图所示，在直角坐标系中有长方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ，且 AB3，BC4，AA 1 5.(1)写出向量 关于i，j，k的分解式，写出C 1 点的坐标和向量 AC1 的坐标； AC1 (2)写出向量 的坐标 CA1 解析： (1)如题图所示： 3i4j5k，所以C 1 点的坐标为(3,4,5)，向量 的 AC1 AC1 坐标为(3,4,5)； (2)因为 ，又 3i4j， 5k， CA1 AA1 AC AC AA1 所以 5k(3i4j)3i4j5k， CA1 AA1 AC (3，4,5) CA1 9(10分)已知向量p在基底a，b，c下的坐标是(2,3，1)，求p在基底 a，ab，abc下的坐标 解析： 由已知p2a3bc，设pxay(ab)z(abc)(xyz) a(yz)bzc. 由向量分解的唯一性， 有Error!解得Error! p在基底a，ab，abc下的坐标为(1,4，1).