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关于高中数学函数单调性解题方法探讨 摘要:函数的单调性既是一个重要的数学概念,又是函数的一个重要性质,在 整个高中数学函数的学习中,起着承上启下的作用。在各种考试的考题中也占 有非常多的比例,依据函数单调性延伸出的综合复杂的题目也很多,所以更好 的理解函数单调性的概念,及掌握其各种数学题目的分析解决方法,尤为重要。 本文将针对运用函数单调性定义、导数法、复合函数、函数图像等方法,解决 函数单调性问题。 关键字: 数学函数 函数单调性 解题方法 1、引言 函数单调性是一个非常重要的数学概念,在函数的学习中,函数的单调性 是我们接触的第一个函数的性质,总结了以往我们初中高中所学的数学知识, 而它对于以后学习不等式等许多方面,都需要用到函数单调性的相关知识,所 以如何更好的掌握函数单调性解题,在我们的数学学习中,是非常重要的一个 环节。 2、函数单调性解题方法概况 2.1函数单调性定义法函数单调性的定义: 一般地设函数y= f(x)的定义域为A如果对于定义 域A内的某个区间I内的任意两个自变量x1,x2,当x1 x2时,都有f(x1) f(x2)那么就说y= f(x)在区间I上是增函数,I称为y=f(x)的单调增区间。 那么通过单调增区间,我们很容易就能推出单调减区间的定义:一般地设 函数y= f(x)的定义域为A如果对于定义域A内的某个区间I内的任意两个自 变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1) f(x2)那么就说y= f(x)在区间I上 是减函数,I称为y=f(x)的单减增区间。 如何函数y= f(x)在区间 I上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数 y= f(x)在区间I上具有单调性。 而很多的试题,完全可以用定义,简单的运算就可以得到结果, 例:求函数f(x)= 在区间(0,+ )上的单调性。 + 2 函数的解析式和区间都已给出,只需要利用函数单调性的电影判断即可,设 ,那么f( -f( = - = 0 1 2 (0, + ) 1 ) 2 ) 1 1 + 2 2 2 + 2 2( 1 2 ) ( 1 + 2)( 2 + 2) 因为 ,所以f( -f( 0,所以函数f(x)在区间(0,+ ) 1 2 (0, + ) 1 ) 2 ) 上,是单调递增函数。 2.2函数图像法 在解题的过程中,利用函数图想法也是非常常见的方法之一。根据图像能 够更直观的看到函数的区间内的增减单调性,而数形结合的方式,能够更快捷 的进行解题。而在单调区间内,函数如果是单增函数,那么随着x的增大,那 么它的图像呈上升状态,有明显的上升趋势,在单调区间内,如果函数是减函 数,那么它的图像就会相反,为下降状态,呈下降的趋势。所以掌握集中常见 函数图像的,也很有必要。而利用函数图像解题过程中,函数的奇偶性也是解 题的关键,其中奇函数在原点对称的区间上,单调性是相同,单调递增或单调 递减,而偶函数在原点的对称性上的单调性是相反,从图像上可以清晰的判断 出来。 例如f(x)= 就是偶函数,而函数f(x)= 就是奇函数,简单的勾 2 + 2 3 + 2 画出图像,就可以轻易的判断出来函数的单调性。 2.3复合函数分析法 复合函数的定义是函数y=f(g(x)是由函数y=f(t)和函数t=g(x)组合而成, 其中t=g(x)为内层函数,y=f(t)为外层函数。而复合函数单调性又该如何判断 呢,首先,如果内外函数的单调性不一致,即一个是单调增函数,一个是单调 减函数,则复合函数的单调性是递减函数,有一种负正得负的异曲同工的感觉, 相反,如果内外层函数的单调性是相同的,同为增函数或同为减函数,那么复 合函数的单调性是递增函数,负负得正,正正为正的乘法法则。 例如,判断函数f(x)= 的单调性,利用复合函数的定义,区分出这个 7 2 + 1 函数的外层函数为f(y)= ,而内层函数为y= +1,开始逐一判断内外层的单调 7 2 性,由内而外的判断,首先内层函数y= +1,在x (- ,0)时,函数为递减函 2 数,在x (0, )时,函数为递增函数,而外层函数,在f(y)= ,从单一函 + 7 数单调性来说,y (- )时,为递增函数,按照之前总结得出,一增一减 , + 为减,同增同减原则,当x (- ,0)时,函数f(x)= 单调性递减函数,当 7 2 + 1x (0, )时,函数f(x)= 为单调递增函数。所以复合法是一种非常清晰 + 7 2 + 1 明确的解题方法,从而减少了解题步骤。 2.4导数法 导数法是解决分式函数,高次函数的单调性问题,很有效的解题办法,导 数法实际上是以求导函数为基础的,从而发展成为一种比较简单的求解方法, 而求导更是解析函数单调性的提前必要条件,所以应用好导数法,也能为我们 的解题提供非常好的方法。 例如,设函数f(x)= -ax, a0,试确定,当a取什么值时,函数 2 + 2 f(x)在(0, )上为单调函数。 + 解:任取 , 0, )且 ,则f( -f( = a( 1 2 + 1 2 1 ) 2 ) 1 2 + 2 2 2 + 2 - )=( - )( a),所以当a 因为 1 2 1 2 1 + 2 1 2 + 2 + 2 2 + 2 1 时 , 1,又 - 0,所以f( -f( 0,即f( f( ,所 1 + 2 1 2 + 2 + 2 2 + 2 1 2 1 ) 2 ) 1 ) 2 ) 以,当a ,函数f(x)在区间0, )上是递减函数,当0a1时,在区间 1 时 + 0, )上存在 f( = f( ,所以当0a1时,函数f(x)在0, + 1 = 0 , 满 足 1 ) 2 ) )不是单调函数。 + 3、结束语 总之,函数单调性的学习是整个函数学习中最基础的知识,只有基础打牢, 才能更好的应用到后续的函数学习中,所以牢牢地掌握函数单调性解题思路和 分析问题的办法,非常的重要。而各种考题中最长出现类型的有以下几种,判 断函数的单调性,求函数的单调区间、在一定区间内求函数的最值、极值等。 所以一定要通过分析总结,掌握适合自己有效的解题方法,才能更快更准确的 取得问题的答案。而函数单调性定义法,函数图像法,复合函数法、导数法是 最常用的解题方法,综合运用,合理搭配,选择合适的解题思路,可以简化解 题过程,能够更快更准确的取得答案。高考的题目看似每年都不一样,非常的 灵活,其实只是将一些简单的问题进行组合,所以学习就是要把简单的知识点 掌握好,抽丝剥茧的把复杂的问题简单化,如果较复杂的函数就不建议用定义 法,相对比较繁琐,而复合函数,就建议用复合法来解决。在经过函数单调性解题的学习和研究,最主要的还是培养发现问题,分析问题,解决问题的能力。 参考文献: 1施永新。巧用函数单调性解题例说J.数理化解题研究(高中版) , 2011, (01) 2蒋自伟,函数单调性解数学题常见类型解析J.中学生数理化(高中版.学 研版) ,2011(03) 3王保国.函数单调性判断的四种方法J。数学爱好者,2006
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