第十五章 傅里叶级数 2 以 l 2 为周期的函数的展开式 数学分析 电子教案 第 1 页 共 7 页 2 以 l 2 为周期的函数的展开式 【 教学 目的 】 掌 握以 l 2 为 周期 的函 数的 展开 式 ， 偶 函数 和奇 函数 的傅 里叶 级数 的展 开 ， 正 弦级 数 ， 余 弦级 数 【 教学 重点 】 以 l 2 为 周期 的函 数的 展开 式 【 教学 难点 】 对 函数 作相 应的 奇式 或偶 式延 拓进 行傅 里叶 级数 展开 在 上 节 提 到 的 收 敛 定 理 中 ， 我 们 假 设 函 数 f 是 以 2 为 周 期 的 ， 或 是 定 义 在 , ( 上 然 后 作 以 2 为 周 期延 拓的 函数 本 节讨 论以 l 2 为 周期 的函 数的 傅里 叶级 数展 开式 及偶 函数 和奇 函数 的傅 里叶 级数 展开 式 一 以 l 2 为周期的函数的傅里叶级数 设 f 是 以 l 2 为 周期 的函 数 , 通 过变 量置 换 t l x = 或 l t x = 可 以 把 f 变 换 成 以 2 为 周 期 的 t 的 函 数 ) ( ) ( l t f t F = 若 f 在 , l l 上 可 积 ， 则 F 在 , 上 也 可 积 ， 这 时函 数 F 的 傅里 叶级 数展 开式 是： = + + 1 0 ) s i n c o s ( 2 ) ( n n n n t b n t a a t F , ( 1 ) 其 中 = = = = . , 2 , 1 , s i n ) ( 1 , 2 , 1 , 0 , c os ) ( 1 n nt dt t F b n nt dt t F a n n ( 2 ) 因 为 l x t = , 所 以 ) ( ) ( ) ( x f l t f t F = = 于是 由 ( 1 ) 与 ( 2 ) 式 分别 得 = + + 1 0 ) s i n c o s ( 2 ) ( n n n l x n b l x n a a x f ( 3 ) 与 , 2 , 1 , s i n ) ( 1 , , 2 , 1 , 0 , c os ) ( 1 = = = = n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l l n l l n ( 4 ) 这 里 ( 4 ) 式 是以 l 2 为 周期 的函 数 f 的 傅里 叶系 数， ( 3 ) 式 是 f 的 傅里 叶级 数 若 函数 f 在 , l l 上 按段 光滑 , 则 同样 可由 收敛 定理 知道 . ) s i n c o s ( 2 2 ) 0 ( ) 0 ( 0 0 = + + = + + n n n l x n b l x n a a x f x f ( 5 )第十五章 傅里叶级数 2 以 l 2 为周期的函数的展开式 数学分析 电子教案 第 2 页 共 7 页 例 1 把 函数 = 5 0 , 3 0 5 , 0 ) ( x x x f 展 开成 傅里 叶级 数 解 由 于 f 在 ( - 5 , 5 ) 上 按段 光滑 ，因 此可 以展 开成 傅里 叶级 数 根据 ( 4 ) 式 ，有 = = = = = = = = = = = = = = + = . , , k , k n , , , , k , k n , ) k ( n ) n c o s ( x n c o s n d x x n s i n b , d x d x ) x ( f a , , , n , x n s i n n d x x n c o s d x x n c o s a n n 2 1 2 0 2 1 1 2 1 2 6 1 3 0 5 5 5 5 3 5 3 5 1 3 3 5 1 5 1 2 1 0 0 5 5 5 5 3 5 3 5 1 5 0 5 1 5 0 5 0 5 5 0 5 0 0 5 代 入 ( 5 ) 式, 得 ) . 5 5 s i n 5 1 5 3 s i n 3 1 5 ( s i n 6 2 3 5 ) 1 2 ( s i n ) 1 2 ( 6 2 3 ) ( 1 + + + + = + = = x x x x k k x f n 这 里 ) 5 , 0 ( ) 0 , 5 ( x 当 0 = x 和 5 时 级数 收敛 于 2 3 二 偶函数与奇函数的傅里叶级数 设 f 是 以 l 2 为 周 期 的 偶 函 数 , 或 是 定 义 在 , l l 上 的 偶 函 数 , 则 在 , l l 上 , nx x f c os ) ( 是 偶 函 数 , 函 数 nx x f s i n ) ( 是 奇函 数 . 因 此， f 的 傅里 叶系 数 ( 4 ) 是 = = = = = = . , 2 , 1 , 0 s i n ) ( 1 , , 2 , 1 , 0 , c os ) ( 2 c os ) ( 1 0 n dx l x n x f l b n dx l x n x f l dx l x n x f l a l l n l l l n （6 ） 于 是 f 的 傅里 叶级 数只 含有 余弦 函数 的项 , 即 = + 1 0 c o s 2 ) ( n n l x n a a x f ， （7 ） 其 中 n a 如 ( 6 ) 式 所示 , ( 7 ) 式 右边 的级 数称 为余 弦级 数 同 理 , 若 f 是 以 l 2 为 周期 的奇 函数 , 或 是定 义在 , l l 上 的奇 函数 , 则 可以 推得第十五章 傅里叶级数 2 以 l 2 为周期的函数的展开式 数学分析 电子教案 第 3 页 共 7 页 = = = = = . , 2 , 1 , s i n ) ( 2 , , 2 , 1 , 0 , 0 c os ) ( 1 0 n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l n l l n （ 8 ） 所 以当 f 为 奇函 数时 , 它 的傅 里叶 级数 只含 有正 弦函 数的 项 , 即 , s i n ) ( 1 = n n l x n b x f （ 9 ） 其 中 n b 如( 8 ) 式 所示 . ( 9 ) 式 右边 的级 数称 为正 弦级 数 若 = l , 则 偶函 数 f 所 展开 成的 余弦 级数 为 n x a a x f n n c o s 2 ) ( 1 0 = + ， （1 0 ） 其 中 = = 0 . , 2 , 1 , 0 , c os ) ( 2 n nx dx x f a n （ 1 1 ） 当 = l 且 f 为 奇函 数时 , 则 它展 开成 的正 弦级 数为 = 1 , s i n ) ( n n n x b x f （ 1 2 ） 其 中 = 0 s i n ) ( 2 nx dx x f b n （ 1 3 ） 在 实际 应用 中 , 有 时需 把定 义在 , 0 上 ( 或 一般 地 , 0 l 上) 的 函数 展开 成余 弦级 数或 正弦 函数 为 此 , 先 把 定 义 在 , 0 上 的 函 数 作 偶 式 延 拓 或 作 奇 式 延 拓 到 , 上 ( 如 图 1 5 - 6 ( a ) 或 ( b ) ) 然 后 求 延 拓 后 函 数 的 傅 立叶 级数 , 即 得 ( 1 0 ) 或( 1 2 ) 形 式 但 显然 可见 , 对 于定 义在 , 0 上 的函 数 , 将 它展 开成 余弦 级数 或正 弦级 数 时 , 可 以不 必作 延拓 而直 接由 ( 1 1 ) 式 或 ( 1 3 ) 式 计算 出它 的傅 里叶 系数 第十五章 傅里叶级数 2 以 l 2 为周期的函数的展开式 数学分析 电子教案 第 4 页 共 7 页 例 2 设 函数 = x x x f , s i n ) ( ， 求 f 的 傅里 叶级 数展 开式 解 f 是 , 上 的 偶 函 数 ， 图 1 5 - 7 是 这 函 数 及 其 周 期 延 拓 的 图 形 由 于 f 是 按 段 光 滑 函 数 ， 因 此 ，可 以展 开成 傅里 叶级 数 , 而 且这 个级 数为 余弦 级数 由 ( 1 0 ) 式( 这 时可 把其 中 ” ” 改 为 ”= ” ) 知 = + = 1 0 c o s 2 s i n n n n x a a x ， 其中 = = = = + + = = = = = = = . , 4 , 2 , 1 1 4 , , 5 , 3 , 0 ) 1 ( , 1 ) 1 c os ( 1 2 1 ) 1 s i n( ) 1 s i n( 2 1 2 c os s i n 2 c os s i n 2 , 0 c os s i n 2 , 4 s i n 2 2 2 0 0 0 0 1 0 0 n n n n n n dx x n x n nx dx x nx dx x a x dx x a x dx a n 因 此第十五章 傅里叶级数 2 以 l 2 为周期的函数的展开式 数学分析 电子教案 第 5 页 共 7 页 . , 1 4 2 c os 2 1 2 2 c os 1 4 4 1 2 s i n 1 2 1 2 + = = = = x m m x m x m x m m 当 0 = x 时, 有 ) 1 4 1 2 1 ( 2 0 1 2 = = m m 由 此可 得 . ) 1 2 ) ( 1 2 ( 1 5 3 1 3 1 1 2 1 + + + + + = m m 例 3 把 定义 在 , 0 上 的函 数 = = x h h x h x x f , 0 , , 2 1 , 0 , 1 ) ( ( 其 中 h 0 ) 展 开成 正弦 级数 解 函 数 f 如 图 1 5 - 8 所 示 , 它 是按 段光 滑函 数 , 因 而可 以展 开成 正弦 级数 ( 1 2 ) , 其 系数 ) . c os 1 ( 2 0 ) c os ( 2 s i n 2 s i n ) ( 2 0 0 nh n h n nx nx dx nx dx x f b h n = = = = 所 以 = = 1 . , 0 , s i n ) c o s 1 ( 2 ) ( n x h h x n x n n h x f 当 0 = x 时,