热点专题六 图形与证明【考点聚焦】图形与证明是空间与图形的核心内容之一，它贯穿在整个几何知识的学习及运用之 中内容主要有：了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；掌握平行线的性质 定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理；掌握 三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定 理；掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；掌握平行四边形、矩形、 菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理【热点透视】热点 1：把握三角形全等的性质，考查线段相等的证明例1 （2008 郴州）如图，菱形 中， 分别为 ABCD E F ， 、 上的点，且 求证： BC CD CE CF AE AF 分析：本题中灵活运用菱形的性质：四边相等，两组对角分别相 等找到全等三角形的对应元素是解本题的关键证明：四边形 是菱形， ABCD ， AB BC CD AD B D ， CE CF BE DF 在 与 中， ， ， ABE ADF AB AD B D BE DF ， ABE ADF AE AF 点评：掌握全等三角形的概念和性质，还要能准确辨认全等三角形中的对应元素，通 过证明全等来证明线段相等或者角相等热点 2：紧扣三角形全等的判定，考查三角形全等的开放型问题例2 （2008 湘潭）如图2，在正五边形 中，连结对角线 ABCDE 、 和 ， 交 于 AC AD CE AD CE F（1）请列出图中两对全等三角形_（不另外添加辅 助线）；（2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明分析：由正多边形的性质可知：正多边形的各边相等，各角相等这 是一类结论不惟一的试题解决此类问题的关键是依据图形，通过准确辨认全等三角形的 对应元素，证明三角形全等解：（1）ABCAED ，ABC EDC；（2）证明：在正五边形ABCDE 中， ， AB BC CD DE EA EAB= B=BCD=CDE=DEA，故在ABC 与AED 中，AB=AE，B=DEA，BC=DE，ABCAED，在ABC 与EDC 中，AB=ED ，B=CDE，BC=DC，ABC EDC点评：本考题题干简单清晰，但考点的内容与正多边形的知识相结合，需要具有分解 基本图形的能力和基本的探究能力，才能顺利解题热点 3：合理添加辅助线，构造全等三角形解决相关问题例3 （2008 常德）如图3，已知 ， AB AC （1）若 ，求证： ； CE BD GE GD （2）若 （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系（只写结论，不证明） CE m BD g分析：证明在不同三角形中的两条线段和两个角相等的常用方法就是证明两个三角形 全等，要证明线段GE 和GD 相等，在辨认三角形全等对应元素时，发现图中没有三角形 全等，需要通过合理添加辅助线构造三角形全等（1）证明：过D 作DFCE ，交BC 于F，E= GDF，AB=AC ，DFCE ，DFB=ACB=ABC，DF=DB=EC 又DGF= EGC ，GDFGECGE=GD （2） GE m GD g点评：在证明三角形全等时，可以通过翻折法、旋转法、平移法找到对应元素，或者 合理添加辅助线构造全等三角形的对应元素热点 4：定义、命题、定理、互逆命题的考查例4 （2008 永州）下列命题是假命题的是（ ）（）四个角相等的四边形是矩形（）对角线互相平分的四边形是平行四边形（）四条边相等的四边形是菱形（）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形分析：掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解决本题的关键解：选（D）点评：本题考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握，遇到这 种题，同学们可利用数形结合的思想将其中的文字语言转化为图形语言，便能迅速作出准 确判断热点 5：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质与判定的考查例5 （2008 娄底）如图5，已知点 在 的 边上， 交 于 D ABC BC DE AC AB ， 交 于 E DF AB AC F（1）求证： ； AE DF （2）若 平分 ，试判断四边形 的形状， AD BAC AEDF 并说明理由分析：本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四 边形的判定方法的把握证明：（1） ， DE AC ，同理 ADE DAF DAE FDA ， AD DA ， ADE DAF AE DF （2）若 平分 ，四边形 是菱形 AD BAC AEDF证明： ， ， DE AC DF AB 四边形 是平行四边形， AEDF ， ， FAD EAD AF DF 平行四边形 为菱形 AEDF点评：三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等，此类题起点低，注重 基础知识及基本技能的考查，考查了同学们最基本的几何推理证明能力热点 6：圆的有关概念及性质的考查例6 （2008 益阳）如图6， 是 的直径， 是 上一点， AB O e C O e 过圆心 作 ， 为垂足， 是 上一点， 是 的中点， O OD AC D E BC G DE 的延长线交 于 OG BC F（1）图中线段 、 所在直线有怎样的位置关系？写出你的结 OD BC 论，并给出证明过程；（2）猜想线段 三者之间有怎样的数量关系？ BE EF FC ，写出你的结论，并给出证明过程分析：平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，先通过观察图形可猜想 ODBC ，再利用圆的有关概念及性质得证解：（1）结论： OD BC 证明： 是 的直径， 是 上一点， AB O e C O e ，即BC AC 90 ACB o又ODAC，ODBC（2）结论： EF BE FC 证明：ODAC，AD=DC又O 为AB 的中点，OD 是ABC 的中位线BC=2OD 在ODG 与EFG 中，DG=EG ，GOD=GFE，ODG= FEG ， OD=EF ODG FEG 2 2 BE EF FC BC OD EF EF BE FC 点评：为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解，新课程中的逻辑推理常在 探究、猜想的前提下进行本题就采用了这种方式该题主要考查了直径与圆周角、垂直 于弦的直径等概念之间的联系【考题预测】下列命题中真命题的个数是（ ）两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；在 与 中， ， ，那么 ； ABC ABC AB AC AB AC A A ABC ABC 已知 及位似中心 ，能够作一个且只能作一个三角形，使位似比为0.5 ABC O （）1 个 （）2 个 （）3 个 （）4 个2已知如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 交于点 E，且AC 平分DAB，AB=AE，AC=AD下四个结论： ACBD；CB=DE； ；ABE 是等 1 2 DBC DAB 边三角形请写出正确的结论序号_（把你认为正确 的结论序号填上，并证明其中一个）3如图8，菱形ABCD 中，E、F 分别为CB、CD 延长线上 的点，且 求证： CE CF AE AF 4如图9，在Rt ABC 中， ， ，DE 垂直平分BC，垂足为 90 ACB o 2 AB AC D，交AB 于点E 又点F 在DE 的延长线上，且 求证：四边形ACEF 是菱 2 EF DE 形5如图10，D 是 边AB 上一点，DE 交AC 于点 ABC E， ， 求证： DE EF FC AB AE CE 6如图11，已知AC 切 于A ， 顺次交 于 两点， ， O e CB O e D B ， 6 AC ，连结AD，AB 5 BD （1）求证： ； CAD CBA （2）求线段DC 的长7如图12， 是 的内接三角形， ， 为 中上一点，延长 ABC O e AC BC D O e 至点 ，使 DA E CE CD （1）求证： ； AE BD （2）若 ，求证： AC BC AD BD CD 8如图13，已知：C 是以AB 为直径的半圆 上一点，CHAB 于点H，直线AC 与 O 过B 点的切线相交于点D，E 为CH 中点，连结AE 并延长交BD 于点F，直线CF 交AB 的延长线于点G（1）求证：点F 是BD 中点；（2）求证：CG 是 的切线； O e（3）若 ，求 的半径 2 FB FE O e