第 3节 等比数列 最新考纲 1. 理解等比数列的概念 . 2. 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 . 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系 , 并能用有关知识解决相应的问题 . 4. 了解等比数列与指数函数的关系 . 编写意图 等比数列也是高考重点考查的内容 ,本节重点突出等比数列的通项公式、性质与前 类讨论思想的应用 ,通过设置考点对等比数列的运算及性质应用加以巩固 ,对等比数列的判断得以突破 ,思想方法栏目重点突破等比数列前 体现了分类讨论思想 ;课时训练以考查基础知识和基本方法为主 ,兼顾等差数列与等比数列的综合以及等比数列与其他知识交汇的综合 . 考点突破 思想方法 夯基固本 夯基固本 抓主干 固双基 知识梳理 1. 等比数列的相关概念 (1) 定义 : 如果一个数列从第 2 项起 , 每一项与它的前一项的比等于 常数 , 那么这个数列叫做等比数列 , 这个常数叫做等比数列的 , 公比通常用字母 q (q 0) 表示 . 符号表示为 12 ,q 为常数 . 同一个 公比 (2) 等比中项 : 如果三个数 a 、 G 、 b 成等比数列 , 则 G 叫做 a 和 b 的等比中项 ,那么 即 G 2 = 质疑探究 : b 2 = a 、 b 、 c 成等比数列的什么条件 ? ( 提示 : 必要而不充分条件 , 因为 b2= , 不一定有 a 、 b 、 c 成等比数列 ( 如a=0, b=0,c=1), 而 a 、 b 、 c 成等比数列 , 则必有 b2=a c) (1)设等比数列 首项为 比为 q,q0, 则它的通项公式 . (2)通项公式的推广 an= . (1)公式的推导方法 推导等比数列 前 2) 公式 S n = 111 , 1 , 1 4. 等比数列的常见性质 (1) 在等比数列 a n 中 , 若 m+n=p+q=2k (m 、 n 、 p 、 q 、 k N * ), 则a m a n =a p a q = 2 (2) 若数列 a n , b n ( 项数相同 ) 是等比数列 , 则 a n ,1, 2a n b n , ( 0) 仍然是等比数列 ; (3) 在等比数列 a n 中 , 等距离取出若干项也构成一个等比数列 , 即a n ,a n+k ,a n + 2 k ,a n + 3 k , 为等比数列 , 公比为 q k ; (4) 公比不为 - 1 的等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , 则 S n ,S 2n - S n ,S 3n - S 2n 仍成等比数列 , 其公比为 q n , 当公比为 - 1 时 ,S n ,S 2n - S n ,S 3n - S 2n 不一定构成等比数列 . 基础自测 A 1.(2013 高考江西卷 ) 等比数列 x, 3x +3 ,6 x+ 6 , 的第四项等于( ) (A) - 24 (B)0 (C)12 (D)24 解析 : 由等比数列的性质和定义进行解题 , 由等比中项性质得(3x+3)2=x (6x +6) , 因 x+1 0, 得 x= - 3. 所以 a 4 =(6 x+6 ) 3318 21 - 24. 故选 A. 2. 已知数列 a n 是公比 q 1 的等比数列 , 则在 a n +a n + 1 ,a n + 1 - a n , 1,na n 这四个数列中 , 是等比数列的有 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 解析 : 若 a n 是公比 q 1 的等比数列 , 则 a n +a n + 1 ,a n + 1 - a n ,1是等比数列 , 而 na n 不是等比数列 . C C 3.(2013 高考新课标全国卷 ) 等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知S 3 =a 2 +10a 1 ,a 5 =9, 则 a 1 等于 ( ) (A)13(B) )19(D) S 3 =a 1 +a 2 +a 3 =a 2 +10a 1 , a 3 =9a 1 , 1, 又 a 5 = 9, a 1 , a 1 =299=19. 4. 在等比数列 a n 中 ,a 2 =3,a 5 =81, 则 a n = . 解析 : 由52aa=13=27, 得 q=3, 则 a n =a 2 2=3 3n - 2, 即 a n =3n - 1. 答案 : 3 n - 1 5.(2013 高考北京卷 ) 若等比数列 a n 满足 a 2 +a 4 =20,a 3 +a 5 =40, 则公比q= ; 前 n 项和 S n = . 解析 : 由题意24352 0 ,4 0 ,得31124112 0 , 4 0 ,a q a qa q a q , 得 q=2,a 1 =2, S n = 2 1 212n=2n + 1- 2. 答案 : 2 2 n + 1- 2 考点突破 剖典例 找规律 等比数列的基本运算 考点一 【例 1 】 (1 )(2 014 吉林长春调研考试 ) 等比数列 a n 中 ,a 3 =9, 前三项和S 3 =27, 则公比 q 的值为 ( ) (A)1 (B) )1 或 ) - 1 或 )(2014 高考天津卷 ) 设 a n 是首项为 a 1 , 公差为 - 1 的等差数列 ,S n 为其前n 项和 . 若 S 1 ,S 2 ,S 4 成等比数列 , 则 a 1 等于 ( ) (A)2 (B) - 2 (C)12(D) )(2014 高考新课标全国卷改编 ) 已知 a 1 =1,a n + 1 =3a n +1, 则 a n 的通项公式 a n = . (4)(2014 甘肃兰州模拟 ) 已知等比数列 a n 的前 n 项和 S n , 且 S n =m 2n - 1- 3,则 m= . 解析 : (1) 当 q=1 时 , 显然成立 , 当 q 1 时 , 由题意得 21319,解得136 ,综上 ,q=1 或 故选 C. (2) 由 S 1 =a 1 ,S 2 =2a 1 - 1,S 4 = 4a 1 - 6 成等比数列可得(2a 1 - 1)2=a 1 (4a 1 - 6), 解得 a 1 = 故选 D. (3) 由 a n + 1 =3a n +1, 得 a n + 1 +12=3 （ a n +12） , 则 a n +12 是以32为首项 , 公比为 3 的等比数列 , 则 a n +12=32 3n - 1, a n =32 (4)a 1 =S 1 =m - 3, 当 n 2 时 ,a n =S n - S n - 1 =m 2n - 2, a 2 =m,a 3 =2m, 又22a=a 1 a 3 , m - 3) 2m, 整理得 m=0, 解得 m=6 或 m=0( 舍去 ). 答案 : (1)C (2)D (3) 32n - 12(4)6 反思归纳 等比数列基本运算的方法策略 (1) 将条件用 a 1 ,q 表示 , 在表示 S n 时要注意判断 q 是否为 1; (2)解方程 (组 )求出 a1,q,消元时要注意两式相除和整体代入 ; (3)利用 a1, 考点二 等比数列的判定与证明 【例 2 】 (2014 金华十校联考 ) 已知数列 a n 和 b n 满足 :a 1 = ,a n + 1 =23a n +n - 4, b n =( - 1)n(a n - 3n+21), 其中 为实数 ,n 为正整数 . (1) 证明 : 对任意 实数 , 数列 a n 不是等比数列 ; (2) 证明 : 当 - 18 时 , 数列 b n 是等比数列 ; (3) 当 - 18 时 , 设 S n 为数列 b n 的前 n 项和 , 是否存在实数 , 使得对任意正整数 n, 都有 S n - 1 2? 若存在 , 求出 的取值范围 ; 若不存在 , 请说明理由 . (1) 证明 : 假设存在一个实数 , 使 a n 是等比数列 , 则有22a=a 1 a 3 , 即 （23 - 3 ）2= (49 - 4 ) 492- 4 +9=492- 4 9=0 矛盾 . 对任意实数 , 数列 a n 不是等比数列 . (2) 证明 : b n + 1 =( - 1)n + 1a n + 1 - 3(n+1)+21 =( - 1)n + 1 （23a n - 2n +14 ） = - 1)n(a n - 3n+ 2 1) = n , 又 - 18 , b 1 = - (a 1 +18 ) = - ( +18 ) 0. 由式及 b 1 0 知 b n 0, 1 n N*). 故当 - 18 时 , 数列 b n 是以 - ( +18) 为首项 , (3) 解 : - 18 时 , 由 (2 ) 得 b n = - ( +18) （ n - 1, 于是 S n = +18) 1 - （ n . 要使对任意正整数 n, 都有 S n - 12, 即 +18) 1 - ( n - 12 对任意正整数 n 恒成立 , 可得 - 1 2, 的取值范围为 ( - , - 1 8) ( - 18 , - 6). 反思归纳 等比数列的判定方法 (1) 定义法 : 若1q(q 为非零常数 ) 或1=q(q 为非零常数且 n 2 ), 则数列a n 是等比数列 . (2) 等比中项法 : 若数列