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河北徐水综合高中20092010学年 高三数学三轮专题复习 立体几何 1. 如图,平面 VAD平面ABCD,VAD是等边三角形,ABCD是矩形, ABAD 1,F是AB的中点 2 (1)求VC与平面ABCD所成的角;(2)求二面角V-FC-B的度数; (3)当V到平面 ABCD的距离是3时,求B到平面VFC的距离 2. 在直角梯形P 1 DCB中,P 1 D/CB,CD/P 1 D且P 1 D = 6,BC = 3,DC = ,A是P 1 D的中 6 点,沿AB把平面P 1 AB折起到平面PAB的位置,使二面角PCDB成45角,设E、F分 别是线段AB、PD的中点(1)求证:AF/平面PEC;(2)求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小;(3)求点D到平面PEC的距离 3. 如图四棱锥 中, ABCD P 底面 , 正方形的边长为2 PA ABCD 4 PA (1)求点 到平面 的距离; A PCD (2)求直线 与平面 所成角的大小; PA PCD (3)求以 与 为半平面的二面角的正切值。 PCD PAC B C D A P 1 D B C F E A P D C A B P4. 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是DAB=60且边长为1的菱形。侧面PAD是 正三角形,其所在侧面垂直底面ABCD,G是AD中点。 (1)求异面直线BG与PC所成的角;(2)求点G到面PBC的距离; (3)若 E是BC边上的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF平面ABCD,并说明 理由。 5. 如图,正三棱柱 . 中点 是 中, AC E C B A ABC 1 1 1 (1)求证:平面 ; 1 1 1 A ACC BEC 平面 (2)求证: ; 1 1 / BEC AB 平面 (3)若 . 的大小 ,求二面角 C BC E AB A A 1 1 2 2 6. 如图,四棱锥 的底面是边长为1的正方形, 底面 S ABCD SD , 。 ABCD 3 SB (1)设棱 的中点为 ,求异面直线 与 所成角的大小; SA M DM SB (2)求面 与面 所成二面角的大小。 ASD BSC 7. 如图,在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,AC=BC=AA 1 =2,ACB=90,D、E分别为AC、AA 1 的中点.点F为 棱AB上的点. ()当点F为AB的中点时. (1)求证:EFAC 1 ; (2)求点B 1 到平面DEF的距离. ()若二面角A-DF-E的大小为 的值. FB AF , 求 4 E A C B 1 A 1 C8. 如图,已知正三棱柱 的底面边长是 , 是侧棱 的中点,直线 ABC 1 1 1 C B A 2 D 1 CC 与侧面 所成的角为 AD 1 1 BBCC 45 o()求此正三棱柱的侧棱长; () 求二面角 的大小; C BD A ()求点 到平面 的距离 C ABD9. 在如图所示的几何体中, 平面ABC, 平面ABC, , EA DB AC BC ,M是AB的中点。 2 AC BC BD AE ()求证: ; CM EM ()求CM与平面CDE所成的角; 10. 已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC= ,A为PB边上一点,且 2 PA=1,将PAD沿AD折起,使面 PAD面ABCD(如图2)。 (1)证明:平面PADPCD; (2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC 把几何体分成的两部分 ; 1 : 2 : MACB PDCMA V V (3)在M满足()的情况下,判断直线AM 是否平行面PCD. 答案: A B C D 1 A 1 B 1 C E M A C B D1.取AD的中点G,连结VG,CG(1) ADV为正三角形, VGAD又平面VAD平面ABCDAD为交线, VG平面ABCD,则VCG为CV与平面ABCD所成的角设ADa,则 , a VG 2 3 a DC 2 在RtGDC中,数学驿站 www.maths168.com a a a GD DC GC 2 3 4 2 2 2 2 2 在RtVGC中, 3 3 tan GC VG VCG o 30 VCG即VC与平面ABCD成30(2)连结GF,则 a AF AG GF 2 3 2 2 而 a BC FB FC 2 6 2 2 在GFC中, GFFC 2 2 2 FC GF GC 连结VF,由VG平面ABCD知VFFC,则VFG即为二面角V-FC-D的平面角在RtVFG中, a GF VG 2 3 VFG45 二面角V-FC-B的度数为135(3)设B到平面VFC的距离为h,当V到平面ABCD的距离是3时,即VG3此时 , , , 3 2 BC AD 6 FB 2 3 FC 2 3 VF , 9 2 1 FC VF S VFC 2 3 2 1 BC FB S BFC , VCF B FCB V V V VFC FBC S h S VG 3 1 3 1 9 3 1 2 3 3 3 1 h 即B到面VCF的距离为 2 h 2 2.以D为原点,DA、DC、 所在的直线分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,设正 1 DD 方体 棱长为a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0), (0,0,a), 1 AC 1 D E(a,a, ),F(a, ,0),G( ,a,0) 2 a 2 a 2 a(1) , ,-a), ,0, , a F D ( 1 2 a 2 ( a EG ) 2 a , 0 ) 2 )( ( 0 2 ) 2 ( 1 a a a a a EG F D 数学驿站 EG F D 1(2) ,a, ), 0 ( AE 2 a 0 2 2 0 1 a a a a a AE F D AE F D 1 , 平面AEG E AE EG I F D 1(3)由 ,a, ), (a,a, ), 0 ( AE 2 a B D 1 a , AE cos | | | | 1 1 1 B D AE B D AE B D 15 5 ) ( 4 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a 3. 取PC中点M,连结FM、EM F、M分别为PD、PC中点 FM CD 2 1 / / B C D A P 1 E为AB中点, AE CD 2 1 FMAE, FMEA为平行四边形 AF/EM AF 平面PEC,EM 平面PEC AF/平面PEC 延长DA,CE交于点N,连结PN ABPA, ABAD AB平面PAD AB/DC DC平面PAD DCPD DCAD PDA为二面角PCDB的平面角 PDA45 PAAD PDA45 PD PAAD 2 3又 PAAB PA平面ABCD AE/CD 且E为AB中点 AE CD AE为NDC的中位线 2 1 ANADPA PND为Rt又 NEEC PE 2 42 2 42 PNC为Rt PCPN PDPN CPD为平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角又 PD CD PDDC 2 3 6 tanCPD PD CD 2 3 6 3 3 CPD30 平面PEC和平面PAD所成二面角为30连结ED PA平面ABCD V PCED S CED PA 3 1 3 1 3 3 6 2 1 6 2 3V PCED V DPCE 6 2 3设点D到平面PCE的距离为dS PCE 3 3V PPCE S DCE d 3 1 6 2 3 d 2 2 3点D到平面PEC的距离为 2 2 3 / / D B C F E A P B C F E A P D N M 64. (1)过 作 A PD AE 平面 平面 平面 PA Q ABCD PAD ABCD 平面 CD AD CD , Q PAD 又 平面 , 又 平面 AE Q PAD , AE CD AE AE PD PCD 为 到平面 的距离。 AE A PCD 在 中 PAD Rt 5 2 2 4 , 2 , 4 2 2 PD AD PA 由 得 ; AE PD AD PA S PAD 2 1 2 1 5 5 4 5 2 2 4 AE (2)由(1)知 平面 为直线 与平面 所成的角 AE PCD APD PA PCD 在 中, PAD Rt 2 1 arctan 2 1 tan APD PA AD APD (3)过 作 ,连 ,由(1)知 平面 ,由三垂线定理的逆定理知 A PC AF EF AE PCD为二面角 的平面角, PC EF AFE D PC A 在 中 ,在 中, PAC Rt 3 3 4 AF AEF Rt 15 30 4 ) 5 5 4 ( ) 3 3 4 ( 2 2 2 2 AE AF EF 2 6 30 15 4 5 5 4 tan EF AE AFE 5. (1)PAD为正三角形,G为AD中点, PGAD 又PG 面PAD,面PAD面ABCD 面PAD面ABCD=AD PG面ABCD,又GB 面ABCD PGGB 又DAB=60,四边形ABCD为菱形, BA=BD BGAD 以G为原点,GB所在直线为x轴,GD所在直线为y轴,GP所在直线为z轴,建立(如图 所示)空间直角坐标系Gxyz,则G(0,0,0), , , ) 0 , 0 , 2 3 ( B ) 2 3 , 0 , 0 ( P) 0 , 2 1 , 2 3 ( ), 0 , 1 , 2 3 ( E C ) 0 , 0 , 2 3 ( ), 2 3 , 1 , 2 3 ( GB PC Q GB与PC所成角的余弦值为: 10 30 30 3 4 3 1 4 6 4 3 cos PC GB PC GB 10 30 arccos (2)设面PBC的一个法向量为 ) 0 , 1 , 0 ( ), 1 , , ( BC y x n 由 和 得 0 BC n 0 PC n ) 1 , 0 , 1 ( , 1 0 1 0 2 3 2 3 0 n z y x y x y 即 G到面PBC的距离 4 6 2 2 3 2 2 3 | | n n GB d (3)设存
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