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2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题 一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设 ,则 ( ) 0 a b 1 0 lim n n n n a b . . A a B 1 a . . C b D 1 b (2)设函数 在区间 上连续,则 是函数 的( ) ( ) f x 1,1 0 x 0 ( ) ( ) x f t dt g x x 跳跃间断点. 可去间断点. A B 无穷. 振荡. C D (3)设 是连续奇函数, 是连续偶函数,区域 ( ) f x ( ) g x 则正确的( ) ( , ) 0 1, D x y x x y x . . A ( ) ( ) 0 D f y g x dxdy B ( ) ( ) 0 D f x g y dxdy . . C ( ) ( ) 0 D f x g y dxdy D ( ) ( ) 0 D f y g x dxdy (4)曲线段方程为 函数在区间 上有连续导数则定积分 ( ) ( ) y f x 0, a 0 ( ) a t af x dx 曲边梯形 面积. 梯形 面积. A ABCD B ABCD曲边三角形 面积. 三角形 面积. C ACD D ACD (5)设 为阶非 0 矩阵 为阶单位矩阵若 ,则( ) A E 3 0 A 不可逆, 不可逆. 不可逆, 可逆. A E A E A B E A E A 可逆, 可逆. 可逆, 不可逆. C E A E A D E A E A (6)设 则在实数域上域与 合同矩阵为( ) 1 2 2 1 A A . . A 2 1 1 2 B 2 1 1 2 . . C 2 1 1 2 D 1 2 2 1 (7)随机变量 独立同分布且 分布函数为 ,则 分布函数为( ) , X Y X F X max , Z X Y . . A 2 F X B F X F Y. . C 2 1 1 F X D 1 1 F X F Y (8)随机变量 , 且相关系数 ,则( ) 0,1 X N : 1,4 Y N : 1 XY . . A 2 1 1 P Y X B 2 1 1 P Y X . . C 2 1 1 P Y X D 2 1 1 P Y X 二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9)设函数 在 内连续,则 . 2 1, ( ) 2 , x x c f x x c x ( , ) c (10)已知函数 连续且 ,则曲线 上对应 处切线方程为 . ( ) f x 0 ( ) lim 2 x f x x ( ) y f x 0 x (11) . 2 1 1 0 3 ln y dx x xdy (12)微分方程 通解是 . 2 ( ) 0 x y x e dx xdy y (13)设 3 阶矩阵 的特征值互不相同,若行列式 ,则 的秩为 . A 0 A A (14)设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布,则 . X 2 P X EX 三、解答题:1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 求极限 . 2 0 1 sin lim ln x x x x (16)(本题满分 12 分)设 , ,求 的极值、单调区间和凹凸区间. 1 0 f x t t x dt 0 1 x f x(17)(本题满分 12 分) 求函数 在在约束条件 和 下的最大和最小值. 2 2 2 u x y z 2 2 z x y 4 x y z (18)(本题满分 12 分) 设 是由方程 所确定的函数,其中 具有 2 阶导数且 时) ,求 , z z x y 2 2 x y z x y z 1 dz (2)记 ,求 . 1 , z z u x y x y x y u x (19)(本题满分 12 分) 是周期为 2 的连续函数, f x (1)证明对任意实数都有 2 2 0 t t f x dx f x dx (2)证明 是周期为 2 的周期函数 2 0 2 x t t g x f t f s ds dt (20)(本题满分 9 分) 设 为 3 阶矩阵, 为 的分别属于特征值 特征向量,向量 满足 , A 1 2 , a a A 1,1 3 a 3 2 3 Aa a a 证明(1) 线性无关; 1 2 3 , , a a a (2)令 ,求 . 1 2 3 , , P a a a 1 P AP (21) (本题满分 9 分)设矩阵 ,现矩阵 满足方程 ,其中 , , 2 2 2 1 2 1 2 n n a a a A a a O O O A AX B 1 , , T n X x x L 1,0, ,0 B L (1)求证 1 n A n a (2) 为何值,方程组有唯一解 a (3) 为何值,方程组有无穷多解 a (22) (本题满分 9 分) 设随机变量 与 相互独立, 概率分布为 ,概率密度为 ,记 X Y X 1 1,0,1 3 P X i i 1 0 1 0 Y y f y 其它 Z X Y (1)求 1 0 2 P Z X (2)求 的概率密度 Z. ( 23) (本题满分 9 分) 设某企业生产线上产品合格率为 0.96,不合格产品中只有 产品可进行再加工且再加工,合格率为 0.8,其余均为废品,每件合格品获利 80 元, 3 4 每件废品亏损 20 元,为保证该企业每天平均利润不低于 2 万元,问企业每天至少生产多少产品?.
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