1 几种常见圆锥曲线问题 一、圆锥曲线概念、性质类问题 例1.已知椭圆 和双曲线 有公共的焦点，那么双曲线 2 2 2 2 1 3 5 x y m n 2 2 2 2 1 2 3 x y m n 的渐近线方程是 （ ）15 ( ) 2 A x y 15 ( ) 2 B y x 3 ( ) 4 C x y 3 ( ) 4 D y x 分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程 求法.由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，椭圆焦点 ，双曲线焦点 2 2 ( 3 5 ,0) m n ， ， ， 2 2 ( 2 3 ,0) m n 2 2 2 2 3 5 2 3 m n m n 2 2 8 m n 又双曲线渐近线为 . 6 2 n y x m g g 代入 ， ，得 ，选 D. 2 2 8 m n 2 2 m n 3 4 y x 例2设 ，则二次曲线 x 2 cot-y 2 tan=1的离心率的取值范围为 （ ） (0, ) 4 1 ( )(0, ) 2 A 1 2 ( )( , ) 2 2 B 2 ( )( ,2) 2 C ( )( 2, ) D 分析：本题主要考察三角函数和二次曲线的基本知识以及基本的推理计算技能.有一定的综合性，涉及的知识面比较 大. 解一：因为 ，所以 cot0，tan0，方程所表示的二次曲线是双曲线，离心率必然大于 1.从而排除 (0, ) 4 A、B、C，得D. 解二：依题设知二次曲线是双曲线，半实轴长a和半虚轴长b分别为 ， . 1 tan cot a 1 cot tan b 所以半焦距 ，离心率为 ，因为 ，所以e的取值范围为 2 2 tan cot c a b 2 1 cot c e a (0, ) 4 ，选D. ( 2, ) 二、直线和圆锥曲线关系类问题 直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、 对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括 为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函 数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次” ，有利于选拔的功能. 例3椭圆的中心是原点O，它的短轴长为 ，相应于 2 22 焦点F（c，0） （ ）的准线 与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. 0 c l（1）求椭圆的方程及离心率； （2）若 ，求直线PQ的方程； 0 OP OQ uuu r uuu r （3）设 （ ） ，过点P且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点M，证明 . AP AQ uuu r uuu r 1 l FM FQ uuuu r uuu r 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想 方法和综合解题能力. (I)解：由题意，可设椭圆的方程为 2 2 2 2 1( 2). x y a a b 由已知得2 2 2 2, 2( ). a c a c c c 解得 6, 2. a c 所以椭圆的方程为 ，离心率 2 2 1 6 2 x y 6 . 3 e (II)解： 由(I)可得 (3,0). A 设直线PQ的方程为 由方程组 ( 3). y k x 2 2 1 6 2 ( 3) x y y k x 得 2 2 2 2 (3 1) 18 27 6 0. k x k x k 依题意 得 2 12(2 3 ) 0, k 6 6 . 3 3 k 设 则 1 1 2 2 ( , ), ( , ), P x y Q x y 2 1 2 2 18 , 3 1 k x x k 2 1 2 2 27 6 . . 3 1 k x x k 由直线PQ的方程得 于是 1 1 2 2 ( 3), ( 3). y k x y k x 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 3)( 3) 3( ) 9. y y k x x k x x x x 1 2 1 2 . 0, 0. OPOQ x x y y uuu r uuu r Q 由得 从而 2 5 1, k 5 6 6 ( , ). 5 3 3 k 所以直线PQ的方程为或 5 3 0 x y 5 3 0. x y (III)证明： 由已知得方程组 1 1 2 2 ( 3, ), ( 3, ). AP x y AQ x y uuu r uuu r1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 3 ( 3), , 1 6 2 1. 6 2 x x y y x y x y 注意 解得 1, 2 5 1 . 2 x 因 故 1 1 (2,0), ( , ), F M x y 1 1 2 1 1 2 ( 2, ) ( ( 3) 1, ) 1 1 ( , ) ( , ). 2 2 FM x y x y y y uuuu r 而 所以 2 2 2 1 ( 2, ) ( , ), 2 FQ x y y uuu r. FM FQ uuuu r uuur 例4已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆 相切过点 作斜率为 的直线 ， 2 2 10 20 0 x y x 4,0 P 1 4 l 使得 和 交于 两点，和 轴交于点 ，并且点 在线段 上，又满足 l G , A B y C P AB 2 PA PB PC （）求双曲线 的渐近线的方程； G （）求双曲线 的方程； G （）椭圆 的中心在原点，它的短轴是 的实轴如果 中垂直于 的平行弦的中点的轨迹恰好是 的渐近线 S G S l G 截在 内的部分，求椭圆 的方程 S S 讲解：（）设双曲线 的渐近线的方程为： ，则由渐近线与圆 相切可得： G y kx 2 2 10 20 0 x y x 2 5 5 1 k k 所以， 1 2 k 4 双曲线 的渐近线的方程为： G 1 2 y x （）由（）可设双曲线 的方程为： G 2 2 4 x y m 把直线 的方程 代入双曲线方程，整理得 l 1 4 4 y x 2 3 8 16 4 0 x x m 则 （） 8 16 4 , 3 3 A B A B m x x x x ， 共线且 在线段 上， 2 PA PB PC , , , P A B C P AB ， 2 P A B P P C x x x x x x 即： ，整理得： 4 4 16 B A x x 4 32 0 A B A B x x x x 将（）代入上式可解得： 28 m 所以，双曲线的方程为 2 2 1 28 7 x y （）由题可设椭圆 的方程为： 下面我们来求出 中垂直于 的平行弦中点的轨 S 2 2 2 1 2 7 28 x y a a S l 迹 设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 ，则 1 1 2 2 , , , M x y N x y MN 0 0 , P x y 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 28 1 28 x y a x y a 两式作差得： 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 28 x x x x y y y y a 由于 ， 1 2 1 2 4 y y x x 1 2 0 1 2 0 2 , 2 x x x y y y 所以， ， 0 0 2 4 0 28 x y a 所以，垂直于 的平行弦中点的轨迹为直线 截在椭圆S内的部分 l 2 4 0 28 x y a 又由题，这个轨迹恰好是 的渐近线截在 内的部分，所以， 所以， ，椭圆S的方程为： G S 2 1 112 2 a 2 56 a 2 2 1 28 56 x y 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的 关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线5 与圆锥曲线问题的常用工具） 三、与圆锥曲线有关的轨迹类问题 解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的 性质求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设 中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础 知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也 是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程 例5如图，P是抛物线C：y= x 2 上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q. 1 2 （）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程； （）若直线l 不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求 | | | | | | | | SQ ST SP ST 的取值范围. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力. 解：（）设P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )，M(x 0 ，y 0 )，依题意x 1 0，y 1 0，y 2 0. 由 y= 2 1 x 2 ， 得 y=x. 过点P的切线的斜率 k 切 = x 1 ， 直线l的斜率 k l = 切 k 1 = 1 1 x ， 直线l的方程为 y 2 1 x 1 2 = 1 1 x(xx 1 )， 方法一： 联立消去y，得x 2 + 1 2 x xx 1 2 2=0. M是PQ的中点x 0 = 2 2 1 x x =- 1 1 x ， y 0 = 2 1 x 1 2 1 1 x (x 0 x 1 ).