2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子 邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关 的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：制动器试验台的控制方法分析 摘要 该题是对制动器试验台控制方法的分析，本题中制动器实验台是采用惯性制 动与电制动混合的方式进行制动，建立驱动电流与转速之间微分方程的数学模 型，利用计算机控制中的控制器实现转速对驱动电流的控制。 在计算等效的转动惯量时，根据等效转换前后能量守恒，导出等效惯量与车 轮半径及载荷之间的关系从而解的等效惯量 =52.00 。 等效 J 2 m kg 计算机械惯量时，我们对三个飞轮进行组合，利用公式 求 基础 机械 J J J i 出各组合的机械惯量结果如下表 飞轮组合 无飞轮 1 2 3 1，2 1，3 2，3 1，2，3 机械惯量/ 2 m kg 10 40 70 130 100 160 190 220在计算电机的补偿惯量时，根据 = - 得到每种组合的电惯量，根据 电 J 等效 J 机械 J 补偿范围筛选出符合条件的补偿惯量结果如下表 飞轮组合1 3 机械惯量/ 2 m kg 12 -18建立驱动电流模型时，我们是利用一 问题重述 本题制动器试验台工作时，采用惯性制动与电量制动两种方式结合的的制 动方式。让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足 而缺少的能量。 一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中 比例系数取为1.5 A/Nm） ；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可 观测的离散量。 把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据 前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这 个过程逐次进行，直至完成制动。 评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量 误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消 耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误 差。 现在要求你们解答以下问题： 1.设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N， 求等效的转动惯量。 2. 飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分 别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m 3 ，基础惯量为10 kgm 2 ，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围 为 -30, 30 kgm 2 ，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补 偿多大的惯量？ 3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。 在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。 4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kgm 2 ，机械惯量为35 kgm 2 ，主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms 的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行 评价。 5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速 与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。 6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量 完善的计算机控制方法，并作评价。 二 模型假设 1.假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。 2.假设模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致。 3.假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系 数取为1.5 A/Nm） 。 4. 忽略观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。 三 符号说明 飞轮的转动惯量， i J 2 m kg 飞轮质量 i m飞轮厚度 i h 飞轮外直径、内直径 2 1 ,r r制动器工作时的总能量； 制动 W机械惯量对应的能量 机械 W驱动电流产生的能量； 电能 W等效的转动惯量； 等效 J机械惯量； 机械 J电动机产生的转动惯量； 电 J驱动电流产生的扭矩； 电 M主轴转动的角速度； n 电动机的转速； I 电动机的驱动电流； 四 模型建立及求解 4.1求等效的转动惯量把制动时承受的载荷等效的折算为试验台上飞轮和主轴等机构转动惯量，根 据折算前后能量守恒原则，可得： 2 0 2 0 2 1 2 1 等效 J mv 由于角速度与线速度存在如下关系; r v 0 0 载荷 mg G 联立三式可得： = = 等效 J 2 0 2 0 0 g v G g r G 2 0 * 题目中已知 =0.286m, =6230N ，代入上述计算公式可得： r 0 G 等效转动惯量 =52.00 等效 J 2 m kg 4.2计算机械惯量及电机需要补偿的惯量 4.2.1单个飞轮转动惯量的计算方法飞轮由环形钢制成，密度分布均匀，为形状规则的空心圆柱，查资料可得空 心圆柱的转动惯量计算公式为： ，其中 ) ( 2 1 2 2 2 1 r r m J i i ) ( 2 2 2 1 r r h m i i 整理可得飞轮转动惯量的计算公式为： ) ( 2 4 2 4 1 r r h m J i i i 将飞轮的参数分别代入惯量的计算公式得出三个飞轮的转动惯量如表4.2.1 所示： 表4.2.1 三个飞轮的转动惯量表 飞轮 1 2 3 飞轮厚度m 0.0392 m 0.0784 0.1568 m 转动惯量 2 m kg 30 60 120 4.2.2 机械惯量的计算飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这 些飞轮使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加 上基础惯量称为机械惯量，三个飞轮共可以组成 种数值的机械惯量如表 3 2 4.2.2所示 4.2.3 电动机补偿的电惯量的计算 问题一中求的等效转动惯量 =52.00 ，则需要用电动机补偿的惯 等效 J 2 m kg 量（在这我们称为电惯量） ，即为 = - ，求得的电惯量见表4.2.2： 电 J 等效 J 机械 J 表 4.2.2 三个飞轮能组合的机械惯量与电惯量表（基础惯量 10 ） 2 m kg 飞轮组合 无飞轮 1 2 3 1，2 1，3 2，3 1，2，3 惯量和/ 2 m kg 0 30 60 120 90 150 180 210 机械惯量/ 2 m kg 10 40 70 130 100 160 190 220 电惯量/ 2 m kg 42 12 -18 -72 -48 -108 -138 -168 电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 -30, 30 kgm 2 ，表2中电惯在 该范围内中的显然只有1与3这郎中组合方案其机械惯量见表4.3.3表4.2.3 满足条件的机械惯量 飞轮组合1 3机械惯量/ 2 m kg 12 -18 4.3建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，计算驱动电流。 4.3.1 模型的建立在制动过程中，不能精确地用机械惯量模拟试验，需要让电动机在一定规律 的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，因此制动消的 能量包括机械能即飞轮储存的动能与电动机在制动过程中补偿的电能两部分， 用公式表示为： = = ； 制动 W 电能 机械 W W 2 2 2 1 2 1 电 机械 J J 2 2 2 2 1 2 1 2 1 W 等效 制动 电 机械 制动 J W J J 1转动惯量 、与力矩M的关系： Jdt d J J M 2n 30 3 联立 可得: 1 2 3dt dn J dt dn J 机械 等效 电 30 30 M 一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例 系数取为1.5 A/Nm）,即I=1.5 ,则可得出驱动电流模型为： 电 MI= dt dn J dt dn J 机械 等效 20 20 4 其中 n 为已知量， 、 机械 等效 J J 为可观测的离散量 4.3.2 模型求解题目所给的的减速度a为常数，制动器试验台为恒减速实验， =常 r a dt d 数， 用转速表示为： r a dt dn 30 代入电流公式 可得 I= = 4 机械 等效 J r a J r a 2 3 2 3 电 J r a 2 3 减速度的公式：a= = =2.78m/ 由第一二问给出的条件可知 t v v t 0 _ 5 50 * 18 5 2 s r=0.286 m, ,分别代入模型公式可得两种不同电惯量的驱动电流 2 . 52 m kg J 等效 如表4.3.1：