2010 年江苏高考数学试题 1、 填空题 1、 设集合 A=-1,1,3 ，B=a+2,a 2 +4,A B=3 ，则实数 a=_ 2、 设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的模为_ 3、 盒子中有大小相同的 3 只小球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ 4、 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花 质量的重要指标） ，所得数据都在区间5,40 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的 100 根中，有 _根在棉花纤维的长度小于 20mm 。 5、 设函数 f(x)=x(e x +ae -x ),xR ，是偶函数，则实数 a=_O度度m度度度度0.060.050.040.030.020.01403530252015105 6、 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 上一点 M，点 M 的横坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点 1 12 4 2 2 y x 的距离是_ _ 7、 右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是_ 8、 函数 y=x 2 (x0) 的图像在点(a k ,a k 2 )处的切线与 x 轴交点的横坐标为 a k+1 ,k 为正整数，a 1 =16 ，则 a 1 +a 3 +a 5 =_ 9、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则 4 2 2 y x 实数 c 的取值范围是_ 10、 定义在区间 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P，过点 P 作 PP 1 x 轴于点 2 0 , P 1 ,直线 PP 1 与 y=sinx 的图像交于点 P 2 ,则线段 P 1 P 2 的长为_ 11、 已知函数 , 则满足不等式 的 x 的范围是_ 0 1 0 1 2 x , x , x ) x ( f ) x ( f ) x ( f 2 1 2 12、 设实数 x,y 满足 3 8 ，4 9 ，则 的最大值是_ 2 xy y x 2 4 3 y x 开始 S1 n1 SS+2 n S33 nn+1 否 输出 S 结束 是13、 在锐角三角形 ABC，A、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ， ，则 _ C cos b a a b 6 B tan C tan A tan C tan 14、 将边长为 1 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 S= ,则 S 的最小值是_ 周 周 周 周 周 周 周 周 周 周 周 2 ( 2、 解答题 15、 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数 t 满足( ) =0 ，求 t 的值 OC t AB OC 16、 （14 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中，PD平面 ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=90 0 (1)求证：PC BC (2)求点 A 到平面 PBC 的距离DCBAPdDBEA 17、 （14 分）某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H( 单位 m） ，如示意图，垂直放置的标杆 BC 高度 h=4m， 仰角ABE= ，ADE= (1)该小组已经测得一组 、 的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出 H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 d（单位 m） ，使 与 之差较大， 可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为 125m，问 d 为多少时，- 最大 18.（16 分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左右顶点为 A,B，右顶点为 F，设 xoy 1 5 9 2 2 y x 过点 T（ ）的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M ， ，其中 m0, m t, ) , ( 1 1 y x ) , ( 2 2 y x N 0 , 0 2 1 y y 设动点 P 满足 , 求点 P 的轨迹 4 2 2 PB PF 设 ，求点 T 的坐标 3 1 , 2 2 1 x x 设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点 9 t （其坐标与 m 无关） 19 （16 分）设各项均为正数的数列 的前 n 项和为 ，已知 ，数列 是公差为 n a n S 3 1 2 2 a a a n S A B O F的等差数列. d 求数列 的通项公式（用 表示） n a d n, 设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： c n m k n m 且 3 k n m , , k n m cS S S 的最大值为 c 2 9 20.（16 分）设 使定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其 ) (x f ) , 1 ( ) ( x f a ) (x h 中 对任意的 都有 0 ，使得 ，则称函数 具有性质 ) (x h ) , 1 ( x ) (x h ) 1 )( ( ) ( 2 ax x x h x f ) (x f . ) (a P (1)设函数 ，其中 为实数 ) (x f ) 1 ( 1 2 ) ( x x b x h b 求证：函数 具有性质 ) (x f ) (b P 求函数 的单调区间 ) (x f (2)已知函数 具有性质 ，给定 ， ) (x g ) 2 ( P 为实 数， 设m x x x x , ), , 1 ( , 2 1 2 1 2 1 ) 1 ( x m mx ，且 ，若| | |,求 的取值范围 2 1 ) 1 ( mx x m 1 , 1 ) ( ) ( g g ) ( ) ( 2 1 x g x g m【理科附加题】 21（从以下四个题中任选两个作答，每题 10 分） (1)几何证明选讲 AB 是O 的直径，D 为O 上一点，过点 D 作O 的切线交 AB 延长线于 C，若 DA=DC，求证 AB=2BCBOCAD (2)矩阵与变换 在平面直角坐标系 xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1), 设 k0 ，kR，M= ,N= ,点 A、B、C 在矩阵 1 0 0 k 0 1 1 0 MN 对应的变换下得到点 A 1 ,B 1 ,C 1 ,A 1 B 1 C 1 的面积是 ABC 面积的 2 倍，求实数 k 的值 (3)参数方程与极坐标 在极坐标系中，圆 =2cos 与直线 3cos +4sin+a=0 相切，求实数 a 的值 (4)不等式证明选讲已知实数 a,b 0 ，求证： ) b a ( ab b a 2 2 3 3 22、 （10 分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品 80% ，二等品 20%；生产乙产品，一等品 90%，二等品 10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利 4 万元，若是二等品则要亏损 1 万元；生产一 件乙产品，如果是一等品可获利 6 万元，若是二等品则要亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立 （1 ）记 x （单位：万元）为生产 1 件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求 x 的分布列 （2 ）求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率 23、 （10 分）已知ABC 的三边长为有理数 （1 ）求证 cosA 是有理数 （2 ）对任意正整数 n，求证 cosnA 也是有理数