理科数学试题答案 第 1 页（共 17 页） 绝密 启用前 2016 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学试题答案及评分参考 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一选择题 （1）D （2）D （3）C （4）B （5）C （6）A （7）A （8）A （9）D （10）B （11）A （12）B 二填空题 （13）43 （14）51 2（15）40 （16）2 三解答题 （17）() 解法一： 解法一： 在ABC中，因为2BDAD，设ADx0x ，则2BDx 在BCD中，因为CDBC，5CD，2BDx， 所以cosCDCDBBD5 2x 2 分 在ACD中，因为ADx，5CD，5 3AC ， 由余弦定理得2222225(5 3)cos225ADCDACxADCAD CDx 4 分 因为CDBADC， 所以coscosADCCDB， 即2225(5 3)5 252x xx 5 分 解得5x 所以AD的长为5. 6 分 理科数学试题答案 第 2 页（共 17 页） 解法二：解法二： 在ABC中，因为2BDAD，设ADx0x ，则2BDx 在BCD中，因为CDBC，5CD，2BDx， 所以2425BCx 所以2425cos2BCxCBDBDx2 分 在ABC中，因为3ABx，2425BCx，5 3AC ， 由余弦定理得2222213100cos26425ABBCACxCBAABBCxx4 分 所以2425 2x x22131006425xxx 5 分 解得5x 所以AD的长为5. 6 分 （）解法一：解法一：由（）求得315ABx，2425BCx5 38 分 所以3cos2BCCBDBD，从而1sin2CBD10 分 所以1sin2ABCSABBCCBA 1175 315 5 322412 分 解法二：解法二：由（）求得315ABx，2425BCx5 38 分 因为5 3AC ，所以ABC为等腰三角形 因为3cos2BCCBDBD，所以30CBD10 分 所以ABC底边AB上的高15 3 22hBC 所以1 2ABCSABh 15 375 31522412 分 理科数学试题答案 第 3 页（共 17 页） 解法三：解法三：因为AD的长为5， 所以51cos=22CDCDBBDx，解得3CDB8 分 所以1225 3sin234ADCSAD CD 125 3sin232BCDSBD CD 10 分 所以75 3 4ABCADCBCDSSS 12 分 （18）解：）解： （）设区间75,85内的频率为x， 则区间55,65，65,75内的频率分别为4x和2x1 分 依题意得0.004 0.012 0.019 0.0310421xxx， 3 分 解得0.05x 所以区间75,85内的频率为0.054 分 （）从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验， 所以X服从二项分布,B n p，其中3n 由（）得，区间45,75内的频率为0.3 0.2+0.1=0.6， 将频率视为概率得0.6p 5 分 因为X的所有可能取值为 0，1，2，3，6 分 且003 3(0)C0.60.40.064P X ，112 3(1)C0.60.40.288P X ， 221 3(2)C0.60.40.432P X ，330 3(3)C0.60.40.216P X 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 所以X的数学期望为0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.2161.8EX （或直接根据二项分布的均值公式得到3 0.61.8EXnp ）12 分 10 分 理科数学试题答案 第 4 页（共 17 页） （19） （）证明：证明：因为1AO 平面ABCD， BD平面ABCD， 所以1AOBD1 分 因为ABCD是菱形， 所以COBD2 分 因为1AOCOO， 所以BD平面1ACO3 分 因为BD平面11BB D D， 所以平面11BB D D 平面1ACO4 分 （）解法一：解法一：因为1AO 平面ABCD，COBD，以O为原点，OB，OC，1OA方 向为x，y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系5 分 因为12ABAA，60BAD， 所以1OBOD，3OAOC，22 111OAAAOA6 分 则1,0,0B，0, 3,0C，0,3,0A，10,0,1A， 所以110, 3,1BBAA，11+1, 3,1OBOB BB7 分 设平面1OBB的法向量为, ,x y zn， 因为1,0,0OB ，11, 3,1OB ， 所以0,30.xxyz令1y， 得0,1,3n9 分 同理可求得平面1OCB的法向量为1,0, 1m10 分 所以36cos,42 2n m11 分 z y x A B C D O 1A 1B 1C 1D A B C D O 1A 1B 1C 1D 理科数学试题答案 第 5 页（共 17 页） 因为二面角1BOBC的平面角为钝角， 所以二面角1BOBC的余弦值为6412 分 解法二：解法二：由（）知平面1ACO 平面11BB D D， 连接11AC与11B D交于点1O， 连接1CO，1OO， 因为11AACC，11/AACC， 所以11CAAC为平行四边形 因为O，1O分别是AC，11AC的中点， 所以11OAOC为平行四边形且111OCOA 因为平面1ACO平面11BB D D1OO， 过点C作1CHOO于H，则CH 平面11BB D D 过点H作1HKOB于K，连接CK，则1CKOB 所以CKH是二面角1BOBC的平面角的补角6 分 在1Rt OCO中，1113322OCOCCHOO7 分 在1OCB中，因为1AO 11A B，所以22 11115OBOAAB 因为11ABCD，11/ABCD， 所以22 1112BCADAOOD 因为222 11BCOCOB，所以1OCB为直角三角形8 分 所以1123655CBOCCKOB9 分 所以223 2 5KHCKCH10 分 A B C D O 1A 1B 1C 1D K H 1O 理科数学试题答案 第 6 页（共 17 页） 所以6cos4KHCKHCK11 分 所以二面角1BOBC的余弦值为6412 分 （20） （）解法一：解法一：设椭圆C的方程为22221 (0)xyabab， 因为椭圆的左焦点为12 0F ，所以224ab1 分 设椭圆的右焦点为22 0F，已知点22B,在椭圆C上， 由椭圆的定义知122BFBFa， 所以23 224 2a 2 分 所以2 2a ，从而2b 3 分 所以椭圆C的方程为22 184xy4 分 解法二：解法二：设椭圆C的方程为22221 (0)xyabab， 因为椭圆的左焦点为12 0F ，所以224ab 1 分 因为点22B,在椭圆C上，所以22421ab 2 分 由解得，2 2a ，2b 3 分 所以椭圆C的方程为22 184xy4 分 （）解法一：解法一：因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为2 2,05 分 因为直线(0)ykx k与椭圆22 184xy交于两点E，F， 设点00,Ex y（不妨设00x ） ，则点00,Fxy 联立方程组22,184ykxxy消去y得2 28 12xk 所以022 212x k ，则022 212ky k 理科数学试题答案 第 7 页（共 17 页） 所以直线AE的方程为22 2 112kyx k 6 分 因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N， 令0x 得 22 211 2ky k ，即点 22 20, 11 2kM k 7 分 同理可得点 22 20, 112kN k 8 分 所以2222 2 1 22 22 211 211 2kkkMNkkk 9 分 设MN的中点为P，则点P的坐标为20,Pk10 分 则以MN为直径的圆的方程为222xyk2 22 12kk ， 即222 24xyyk11 分 令0y ，得24x ，即2x 或2x 故以MN为直径的圆经过两定点12,0P，