- 1 -20132013 届艺术生高三数学一轮复习：基础知识归纳届艺术生高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分第一部分 集合集合 1.1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还 是因变量的取值？还是曲线上的点？ 2.2.数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩 图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方 法解决3.3.(1) 元素与集合的关系：,.UxAxC AUxC AxA（2）德摩根公式： .();()UUUUUUCABC AC B CABC AC BIUUI（3）ABAABBIUUUABC BC AUAC B IUC ABRU注意：讨论的时候不要遗忘了的情况.A（4）集合的子集个数共有 个；真子集有1 个；非空子集有1 个；12 ,na aaL2n2n2n非空真子集有2 个.2n4 4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分第二部分 函数与导数函数与导数 1 1映射：映射：注意: 第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一. 2 2函数值域的求法：函数值域的求法：分析法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元 法 ；利用均值不等式 ； 利用数形结合或几何意义（斜率、距2222babaab离、绝对值的意义等） ；利用函数有界性（、等） ；平方法； 导数法xaxsinxcos3 3复合函数的有关问题复合函数的有关问题: : （1）复合函数定义域求法： 若 f(x)的定义域为a，b,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 a g(x) b 解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值 域. （2）复合函数单调性的判定：首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数)(xgfy )(xgu )(ufy 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4 4分段函数：分段函数：值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。- 2 -5 5函数的奇偶性函数的奇偶性: : 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件必要条件是奇函数；是偶函数.)(xf)()(xfxf)(xf)()(xfxf奇函数在 0 处有定义，则)(xf0)0(f在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6 6函数的单调性函数的单调性: : 单调性的定义：在区间上是增函数当时有；)(xfM,21Mxx21xx 12()()f xf x在区间上是减函数当时有；)(xfM,21Mxx21xx 12()()f xf x单调性的判定：定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，)()(21xfxf以利于判断符号；导数法（见导数部分） ；复合函数法；图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7 7函数的周期性：函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数） ，x)()(xfTxfT则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最)(xfT小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期： ； ；2:sinTxy2:cosTxy； ；Txy:tan|2: )cos(),sin(TxAyxAy|:tanTxy(3)与周期有关的结论：或 的周期为)()(axfaxf)0)()2(axfaxf)(xfa28 8基本初等函数的图像与性质：基本初等函数的图像与性质：.指数函数：；对数函数:；) 1, 0(aaayx) 1, 0(logaaxya幂函数： （ ；正弦函数:；余弦函数： ；xy )Rxysinxycos（6）正切函数：；一元二次函数：（a0） ；其它常用函xytan02cbxax数：- 3 - 正比例函数：；反比例函数：；函数)0(kkxy)0(kxky)0(axaxy.分数指数幂：；（以上，且）. m nmnaa1m n m na a0,am nN1n .； ；bNNaablogNMMNaaalogloglog； .NMNMaaalogloglogloglogmn aanbbm.对数的换底公式:.对数恒等式:.logloglogm a mNNalogaNaN9 9二次函数：二次函数：解析式：一般式：；顶点式：，为cbxaxxf2)(khxaxf2)()(),(kh顶点；零点式： （a0）.)()(21xxxxaxf二次函数问题解决需考虑的因素： 开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。cbxaxy2 abx2 abac ab 44 22 ，1010函数图象：函数图象： 图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法 导数法 图象变换： 平移变换：)，左“+”右“” ；)()(axfyxfy)0(a)上“+”下“” ；)0( ,)()(kkxfyxfy 对称变换：)；)；)(xfy )0, 0()( xfy)(xfy 0y)(xfy) ； )；)(xfy 0x)( xfy)(xfy xy( )xf y 翻折变换：)（去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（在左侧图|)(|)(xfyxfy)(xfy象去掉） ；)（留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（|在下面| )(|)(xfyxfy)(xfx无图象） ； 1111函数图象（曲线）对称性的证明：函数图象（曲线）对称性的证明：(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的)(xfy - 4 -对称点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关)(xfy )(xgy )(xfy 于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然。)(xgy 注：曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点（0,0）的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2方程为：f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2方程为：f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2方程为：f(y, x)=0f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)图像关于直线 x=对称；2ba 特别地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)图像关于直线 x=a 对称.的图象关于点对称.( )yf x( , )a bbxafxaf2特别地：的图象关于点对称.( )yf x( ,0)axafxaf函数与函数的图象关于直线对称;()yf xa()yf axxa函数与函数的图象关于直线对称。)(xafy()yf ax0x1212函数零点的求法：函数零点的求法：直接法（求的根） ；图象法；二分法.0)(xf(4)零点定理：若 y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)0 7 7圆的方程的求法：圆的方程的求法：待定系数法；几何法。 8 8点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）d 点在圆上；点在圆内；点在圆外。 Rd Rd Rd 直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）d 相切；相交；相离。 Rd Rd Rd圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）drR,rR 相离；外切；相交；rRdrRdrRdrR 内切；内含。rRdrRd09 9直线与圆相交所得弦长直线与圆相交所得弦长22| 2ABrd第六部分第六部分 圆锥曲线圆锥曲线- 9 -1 1定义：定义：椭圆：；|)|2( ,2|2121FFaaMFMF双曲线：； 抛物线：|MF|=d|)|2( ,2|2121FFaaMFMF2 2结论结论 ：直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为,则A),(),(2211yxByx,或, 或.22 1212()()ABxxyy2 211kxxAB22111kyyAB注：抛物线：x1+x2+p；通径（最短弦）：）椭圆、双曲线：；）ABab22抛物线：2p.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于 0 时表示122 nymxnm,椭圆；时表示双曲线） ；当点与椭圆短轴顶点重合时最大； 0mnP21PFF双曲线中的结论：双曲线（a0,b0）的渐近线：； 12222 by ax02222 by ax共渐进线的双曲线标准方程可设为为参数， 0） ；xaby(2222 by ax双曲线为等轴双曲线渐近线互相垂直；2e焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。 3 3直线与圆锥曲线问题解法：直线与圆锥曲线问题解法： 直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。 注意以下问题：联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？直线斜率不xy 存在时 考虑了吗？判别式验证了吗？ 设而不求（点差法-代点作差法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点 A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解决问题。LL2121 xxyykAB4 4求轨迹的常用方法：求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式） ； （3）代入法（又称相关点法或坐标转移法） ；待定系数法；（5）消参法；（6）交轨 法；（7）几何法。第七部分第七部分 平面向量平面向量1.1.平面上两点间的距离公式平面上两点间的距离公式: :，其中 A，B.,A Bd22 2121()()xxyy11( ,)x y22(,)xy2.2.向量的平行与垂直：向量的平行与垂直： 设=,=，且，则：a11( ,)x yb22(,)xyb0=；abba12210x yx y- 10 - ( () )= =0.aba0ab12120x xy y3.ab3.ab=|a a|b b|cos= x x2+y1y2； 1注：|a a|cos叫做 a a 在 b b 方向上的投影；|b b|cos叫做 b b 在 a a 方向上的投影； abab 的几何意义：abab 等于|a a|与|b b|在 a a 方向上的投影|b b|cos的乘积。4.4.cos=；|baba5.5.三点共线的充要条件：P，A，B 三点共线。xy1OPxOAyOBuuu ruu u ruuu r且第八部分第八部分