第一章第一章实数集与函数实数集与函数 1 1 1 1 实数实数1、设为有理数，为无理数，试证明：ax 是无理数.xa+ 当时，是无理数.0aax证：证： 假设是有理数，则是有理数，这与题设为无理数相矛盾，xa+xaxa=+ )(x故是无理数.xa+假设是有理数，则为有理数，这与题设为无理数相矛盾axxaax=x故是无理数.ax 1、 试在数轴上表示出下列不等式的解：；0) 1(2xx2、 设、.证明：若对任何正数有，则.aRbbababa=令,则为正数,但这与矛盾;ba=bxbaxbxa + ba证证: :因为,且xbab xbxa +=+1)()( xbbabx ba xbxa +=+0, 0bx所以当时,;baba xbxabxbabx 220 +babaxbx2 2bax+当时,不等式的解为ba bxaxbx bxxabx即且 babx +2baxbx故当时,; 当时,不等式无解.ba21bx+ba当时,显然原不等式无解,0b当时原不等式等价于0bbaxba+ba0b 如果,则解为babaxba+ 如果,则解为即bacxbxaxabccbaxxxx61602+xf;),(),(+cbax因此原不等式的解为.),(),(+cbax当时.43,4x22sinx由正弦函数的周期性知的解是,其中是整数22sinx432,42+kkxk2、设为非空数集,试给出下列概念的定义:S 数集没有上界; 数集无界.SS解: 设为一非空数集,若对任意的,总存在,使,则称数集没有S0MSx0Mx0S上界设为一非空数集,若对任意的,总存在,使,则称数集无界S0MSx0Mx0S3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界.证:.22RxxyyS=对任意的,所以数集有上界 2Rx222=xyS而对任意的,取,则,0Mmx+=31SMMxy=13222 11但,因此数集无下界Myx即分别是的上、下界.2,2S又对任意的,不妨设,于是存在,02220x+Sx=1! 11+11所以；1sup=S由的取法知是无理数，所以S+=kSxkk=211=1211kkx所以1sup=S又,Sx=21 211+Sx=0在,使Sx0+0x由上确界的定义知,即.=SsupSSsupinf=同理可证式成立.7.设皆为非空有界数集,定义数集.BA、,ByAxyxzzBA+=+证明: BABAsupsup)sup(+=+BABAinfinf)inf(+=+证: 设,.1sup=A2sup=B对任意的,存在,使.BAz+AxByyxz+=于是,从而1x2y21+z对 任 意 的, 必 存 在,且, 则 存 在0Ax0By0210x220y,使,BAyxz+=000+)(210z所以BABAsupsup)sup(21+=+=+同理可证8.设为有理数,证明:xaa,1,0=a1araxrxa)(0函数为上的无界函数.)(xfD对任意的正数,存在,使M) 1 ,0(110+=MxMMxxf+=11)(2 00所以为上的无界函数.21)(xxf=) 1 , 0(设.下证为无界函数 = 0,0 1 ,0(,1 )( xxxxf)(xf,使得0M 1 ,0(110+=MxMMxf+=1)(0所以是闭区间0,1上的无界函数 = 0,0 1 ,0(,1 )( xxxxf. 3、 证明下列函数在指定区间上的单调性:在内严格递增;13 =xy),(+在上严格递增;xysin=2,2在上严格递减.xycos=,0证: 任取、，1x),(2+x21xx+xx02sin21+xx02sin21+=xxxxxxxfxf故,所以在上严格递减.)()(21xfxfxycos=,04、 判别下列函数的奇偶性:(1);(2);(3);12)(24 +=xxxfxxxfsin)(+=22)(xexxf=(4)1lg()(2xxxf+=解(1)因,)(121)(2)()(24 24 xfxxxxxf=+=+=故是偶函数.12)(24 +=xxxf(2)因故是奇函数.),()sin()sin()()(xfxxxxxf=+=+=xxxfsin)(+=(3)因,故是偶函数.)()()(222)(2xfexexxfxx=22)(xexxf=(4)()1lg( 11lg)1lg()(1lg()(2222xfxx xxxxxxxf=+= +=+=+=故是奇函数.)1lg()(2xxxf+=5、 求下列函数的周期:(1);(2);(3).xxf2cos)(=xxf3tan)(=3sin22cos)(xxxf+=解 (1),而的周期是,所以的)2cos1 (21cos)(2xxxf+=x2cos1+xxf2cos)(=周期是.(2)的周期是,所以的周期是.)3tan(x3xxf3tan)(=3(3)的周期是,的周期是,所以的周期是.2cosx43sinx63sin22cos)(xxxf+=126、 设为定义在上的任一函数,证明:)(xf,aa(1)为偶函数;,),()()(aaxxfxfxF+=(2)为奇函数;,),()()(aaxxfxfxG=(3)可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.f证 (1)由已知函数的定义域关于原点对称且)(xF,aax.故为的偶函数.)()()()()()(xFxfxfxfxfxF=+=+=)(xF,aa(2) 由已知函数的定义域关于原点对称且有)(xG,aax.故为的奇函数.)()()()()()(xGxfxfxfxfxG=)(xG,aa(3)由(1)(2)知:从而,),(2)()(xfxGxF=+)(21)(21 2)()()(xGxFxGxFxf+=+=而,分别是偶函数和奇函数.显然也是偶函数,也是奇函数.从)(xF)(xG)(21xF)(21xG而可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.f7、 设,为定义在上的有界函数,且对任一,证明:)(xf)(xgD)()(,xgxfDx(1);)(sup)(supxgxf DxDx(2).)(inf)(infxgxf DxDx证(1)假设. 令,则)(sup)(supxgxf DxDx)(sup)(sup(21xgxf DxDx=0由上确界定义知,存在,又对任Dx0)(sup)(sup(21)(sup)(0xgxfxfxf DxDxDx+=意的,.Dx)()()(Dxxgxf所以.)(sup)(supxgxf DxDx(2)同理可证结论成立.8、 设为定义在上的有界函数,证明:fD(1);)(inf)(supxfxf DxDx=(2)(sup)(infxfxf DxDx=证: (1)令.由下确界的定义知,对任意的,即,= )(infxf DxDx)(xf)(xf可见是的一个上界;)(xf对任意的,存在,使,即,可见是0Dx0+)(0xf)(xf的上界中最小者.所以)(inf)(supxfxf DxDx=(2)同理可证结论成立.9、 证明:函数在内为无界函数,但在内任一闭区间xxftan)(=)2,2()2,2(ba,上有界.证: (1)对任意的正数,取,M) 1arctan(0+=Mx则,220+=+=1) 1(tan(arctantan0所以在内是无界函数.xxftan)(=)2,2(2)任取,由于在上是严格递增的,从而ba,)2,2(xtanba,bxatantantan对任意的都成立.bax,令,则对一切的,有,tan,tanmaxaaM=bax,Mxtan所以在内任一闭区间上有界.xxftan)(=)2,2(ba,10、讨论狄利克雷函数的周期性、单调性、有界性。 =为无理数时当为有理数时当xxxD,0,1)(解: (1)对于任意的有理数,有,r =+为无理数时当无理数为有理数时当有理数xxrx,于是对任一,有Rx)(,0,1)(xDxxrxD= =+为无理数时当为有理数时当所以,任意的有理数都是的周期.r)(xD但任何无理数都不是的周期.)(xD事实上,任取无理数,对于无理数,0)(=D而)(1)0()(=+DDD(2)对 于 任 意 的 有 理 数与 无 理 数, 无 论或, 都 有1x2x21xx21xx=)(xD(3)由的定义知,对任意的,有,)(xDRx1)(xD所以是上的有界函数.)(xDR11、证明:在内是严格递增函数.xxxfsin)(+=),(+证:任取,1x),(2+x21xx=xxxxxxxfxf因此在内是严格递增函数xxxfsin)(+=),(+12、设为定义在上的函数,且在任何闭区间上有界,定义上的f),+a,ba),+a函数).(sup)(),(inf)(yfxMyfxm byabya=讨论函数和的图形,其中)(xm)(xM(1);, 0,cos)(+=xxxf(2)., 1,)(2+=xxxf解 (1)由及的定义知,对于任意的,当在闭区间上为递增函数)(xm)(xMba=0)(|, 10)(|, 00)(|, 1321xfxDxxfxDxxfxDx(6)(| )(|21xfxfy+= ，因之，.从而)()(12xgxg)()()(122xfxfx)()()(122xgxgx,即在上是递增函数.)()(),(max)(1112xxgxfx=)(x),(ba同理可证在上是递增函数.)(x),(ba10.设为上的奇(偶)函数,证明:若在上递增,则在上递增(减).f,aaf, 0af0 ,a证: 当为奇函数时,对任意的,有,且)(xf2121,0 ,xxaxx)()(11xfxf=)()(22xfxf=)()(21xfxf,所以在上是递增的.)()(21xfxfxgxf证明:)()(inf)(inf)(infxgxfxgxf DxDxDx )()(supxgxf Dx )(sup)(supxgxf DxDx证: (1) 只证第一个和第三个不等式.由且,所以,Dx),()(infxgxg Dx 0)(, 0)(xgxf),()()(inf)(infxgxfxgxf DxDx 故),()(inf)(inf)(infxgxfxgxf DxDxDx 同理可以证明)(sup)(sup)()(supxgxfxgxf DxDxDx(2) 第二个不等式显然成立14.延拓定义在上的函数到整个实数轴上,使所得的函数为()奇函数()偶函数.),0+设(1)(2)1sin)(+=xxf M,haax+Mxf)(对任意的,一定存在整数及使),(+yk,haax+.xkh