第五讲第五讲 三角形（二）三角形（二） 一、三角形相关概念一、三角形相关概念 （1 1）三角形的角平分线）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交 点之间的线段叫做三角形的角平分线 注意：注意：三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分 此角的一条射线 三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部 三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规 作图来画 （2 2）三角形的中线）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的 中线 注意：注意：三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点 画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可 （3 3）三角形的高线）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段长度叫做 三角形的高线，简称三角形的高 注意：注意：三角形的三条高是线段 画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段 就是该边上的高 二、三角形三边关系定理二、三角形三边关系定理 三角形两边之和大于第三边，故同时满足ABC 三边长 a、b、c 的不等式有： a+bc，b+ca，c+ab 三角形两边之差小于第三边，故同时满足ABC 三边长 a、b、c 的不等式有：ab- c，ba-c，cb-a 注意：注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于 第三条线段即可 三、三角形的内角三、三角形的内角 五、三角形的外角五、三角形的外角 1意义意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 2性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 3外角个数外角个数 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个六个 外角外角 六、多边形六、多边形多边形的对角线条对角线；n 边形的内角和为（n2）180；多边形的 2)3( nn外角和为 360【经典例题经典例题】例例 1 1.a、b、c 是ABC 的边长，化简|a-b-c|+|a+b-c|-|-a-b-c|.例例.如图，某校有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面积 相等的四块.请你设计几种不同的划分方案.例例.如图所示，已知在ABC 中，AB=AC=8，P 是 BC 上任意一点，PDAB 于点 D，PEAC 于点 E.若ABC 的面积为 14，问：PD+PE 的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定， 请说明理由.例例.如图，已知 P 是ABC 内任意一点，求证：PB+PCAB+AC。例例.已知，如图所示，求A+B+C+E+ADC 的度数。例例.如图，ABC 面积为 1，第一次操作：分别延长 AB，BC，CA 至点 A1，B1，C1，使 A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，顺次连结 A1，B1，C1，得到A1B1C1. 第二次操作：分别延长 A1B1，B1C1，C1A1至点 A2，B2，C2，使 A2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，顺次连结 A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过 2006，最少经过 次操作.例例.已知：如图，在ABC 中有 D、E 两点，求证：BDDEECABAC例例.已知 P 是ABC 内任意一点，试说明 ABBCCAPAPBPC(ABBCCA)的21理由.例例.将长为厘米的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不 同的方法有多少种？例例. .不等边三角形的高分别为和，若第三条高的长度也是整数，试求它的长。例例. .如图，已知MON=,点、分别在射线、上移动（不与重合） ， 平分，平分，直线、交于点。试问：随着、点 的移动变化，的大小是否也随之变化？若变化，说明理由；若不变求出其值。【课堂练习课堂练习】 1.下面说法正确的是个数有（ ）如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形；如果三角 形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；如果一个三角形 的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；如果BMDNACOA=B=C，那么ABC 是直角三角形；若三角形的一个内角等于另两个内角之差，21那么这个三角形是直角三角形；在ABC 中，若AB=C，则此三角形是直角三角 形。A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.5 个 2.等腰三角形的底边 BC=8 cm，且|ACBC|=2 cm，则腰长 AC 为( ) A.10 cm 或 6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm 或 6 cm .如图，CD 平分ACB，AEDC 交 BC 的延长线于 E，若ACE = 80，则CAE = 4.如图，在三角形 ABC 中，12，G 为 AD 的中点，延长 BG 交 AC 于 E.F 为 AB 上的一 点，CFAD 于 H.下列判断正确的有（ ）（1）AD 是三角形 ABE 的角平分线. （2）BE 是三角形 ABD 边 AD 上的中线.（3）CH 为三角形 ACD 边 AD 上的高.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 .已知ABC 的周长是偶数，且 a=2，b=7，则此三角形的周长是_ .用 7 根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数是_ .古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性，则 第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为 .已知等腰三角形的一个外角是 120，则它是( )A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰 钝角三角形 .若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ).A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 .以下命题中正确的是 （ ）A.三角形的三个内角与三个外角的和为 540 B.三角形的外角大于它的内角C.三角形的外角都比锐角大 D.三角形中的内角没有小于 60 的 .已知在ABC 中，A=105，B-C=15，则B 等于（ ）A.45 B.36 C.72 D.144.如图，在ABC 中，点 D 在 BC 上，且 AD=BD=CD，AE 是 BC 边上的高，若沿 AE 所在直 线折叠，点 C 恰好落在点 D 处，则B 等于（ ）A25 B30 C45 D60 .如图，A=32B=45C=38，则DFE =（ ）A.120 B.115 C.110 D.105 .如图所示，D 是 AB 上的一点，E 是 AC 上的一点，BE、CD 相交于 F，A = 50, ACD = 40,ABE = 28，则CEF 的度数是 （ ） A.62 B.68 C.78 D.90.如图，C 在 AB 的延长线上，CEAF 于 E，交 FB 于 D，F = 40，C = 20，则 FBA 的度数为（ ）A.50 B.60 C.70 D.80.如图，1、2、3、4 应满足的关系式是（ ）A.1+2=3+4 B.1+2=4-3 C.1+4=2+3 D.1+4=2-3.在ABC 中，A-C=25,B-A=10,则B=_ .如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的倍，等于与它不相邻的一个内角的 倍，则此三角形各内角的度数是_ .如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中等于_度.如图所示，1+2+3+4=_【课后作业课后作业】 1.如图，在锐角ABC 中，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，且相交于一点 P，若A=50， 则BPC 的度数是（ ）A150 B130 C120 D1002.在ABC 中，三个内角满足BA=CB，则B 等于（ ）A.70 B.60 C.90 D.120 3.在锐角三角形中，最大内角的取值范围是（ ）A.090 B.60180 C.6090 D.60904.在ABC中，的平分线相交于点P，设用x的代数式表示的度数，CB , xABPC正确的是（ ） A. B. C. D.x2190x2190x290x905.如图，D 是ABC 中边上一点，E 是 BD 上一点，则对1、2、A 之间关系描述正确 的是（ ）A.A 1 2 B.2 1 A C.1 2 A D.无法确 定.如图,BE 是ABD 的平分线,CF 是ACD 的平分线,BE、CF 交于点 G，若BDC = 140,BGC = 110,则A 的大小是 （ ）A.70 B.75 C.80 D.85 .如图，三角形 ABC 中，AD 平分BAC，EGAD，且分别交 AB、AD、AC 及 BC 的延长线于 点 E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（ ）.A. B. C. D. )32(21A)32(21)23(21G121G二、填空题：二、填空题： 1.在ABC 中，如果BAC=50，B=_ 2.如图所示，1+2+3+4+5=_3.如图，在ABC中，ABC的平分线与ACB的外角ACD的平分线交于点P，A=60， 点则P=_. 4.如图，已知 BC=CD=DE=EA,A=20,那么B 的度数是 度。 5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45，则这个等腰三角形的底角为 三、计算题：三、计算题：.如图，1=2=3，且BAC=，DFE=，求ABC 的度数.7050.如图