一元一次方程的应用题分类讲练（一）一元一次方程的应用题分类讲练（一）一、和、差、倍、分一、和、差、倍、分 【解题指导解题指导】这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。（这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。（1 1）倍数关系：通过）倍数关系：通过 关键词语关键词语“ “是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率“来体现。（来体现。（2 2）多）多 少关系：通过关键词语少关系：通过关键词语“ “多、少、和、差、不足、剩余多、少、和、差、不足、剩余“来体现。来体现。 1.学校组织活动，共有 100 名学生参加。现把学生分成两组，已知第一组的人数比第二 组人数的 2 倍少 8 人，那么两个组各有多少人？ 分析：本题相等关系为：第一组人数+第二组人数=100。 解：设第二组有 x 人，则第一组有（2x-8）人，据题意得 2x-8+x=100 解之得 x=36 则第一组人数为 2x-8=236-8=64（人） 答：第一组有 64 人，第二组有 36 人。2.A 种饮料比 B 种饮料单价少 1 元，小峰买了 2 瓶 A 种饮料和 3 瓶 B 种饮料，一共花了 13 元，如果设 B 种饮料单价为 x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是（ A ）A2（x-1）+3x=13B2（x+1）+3x=13C2x+3（x+1）=13D2x+3（x-1）=133.为了防控甲型 H1N1 流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共 100 瓶，其中甲种 6 元/瓶，乙种 9 元/瓶。如果购买这两种消毒液共用 780 元，求甲、 乙两种消毒液各购买多少瓶？ 分析：本题等量关系为：甲种所用钱数+乙种所用钱数=780 元 解：设购买甲种消毒液瓶，则购买乙种消毒液（）瓶，由题意得 6x+9(100-x)=780 解之得 x=40 则购买乙种消毒液为 100-x=100-40=60（瓶） 答：购买甲种消毒液 40 瓶，乙种消毒液 60 瓶。4.某车间有 16 名工人，每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个。在这 16 名工人 中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。已知每加工一个甲种零件可获利 16 元，每加工一个乙种零件可获利 24 元若此车间一共获利 1440 元，求这一天有几 个工人加工甲种零件 分析：等量关系为：加工甲种零件的总利润+加工乙种零件的总利润=1440，把相关数值代 入求解即可 解：设这一天有 x 名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有 5x 个，乙种零件有 4（16-x）个 根据题意，得 165x+244（16-x）=1440， 解得 x=6 答：这一天有 6 名工人加工甲种零件5.学生们到校外进行军事野营训练，他们以 5km/h 的速度行进，18min 后，学校发现他 们忘了拿一些物品，一位老师骑自行车将这些物品给学生们送去。这位老师的速度为14km/h，那么他用多长时间才能追上学生们？ 分析：相等的关系是：学生行走的路程=老师行走的路程。 解：设老师用 xh 才能追上学生们，18min=hh103 6018学生行走的路程为（5+5x）km，老师骑车的路程为 14xkm103则 5+5x=14x103解之得 x=61答：老师用小时才能追上学生们。616.兄弟二人今年分别是 15 岁和 9 岁，多少年后哥哥的年龄是弟弟年龄的 2 倍？ 分析：本题的相等关系是：若干年后，哥哥的年龄=2弟弟的年龄 解：设 x 年后，哥哥的年龄是弟弟年龄的 2 倍，则年后哥哥的年龄是 15+x，弟弟的年龄是 9+x，由题意得 2(9+x)=15+x 解之得 x=-3 答：3 年前哥哥的年龄是弟弟年龄的 2 倍。7.妈妈今年 35 岁，小红今年 7 岁，多少年后妈妈的年龄是小红年龄的 15 倍？ 解：设 x 年后妈妈的年龄是小红年龄的 15 倍，则15(7+x)=35+x 解之得 x=-5 答：5 年前妈妈的年龄是小红年龄的 15 倍。8.甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才 4 岁”，乙对甲说：“当我的岁数是你 现在的岁数时，你将 61 岁”，问：甲、乙现在各几岁？ 分析：甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才 4 岁 ”那么乙的岁数-甲乙的岁 数差=4，即乙的岁数-（甲的岁数-乙的岁数）=4，乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁 数时，你得 61 岁 ”那么甲的岁数+甲乙的岁数差=61，即甲的岁数+（甲的岁数-乙的岁数） =61，可根据这两点关系来列出方程组 解法一：可以设甲、乙人的岁数差为 x 岁，则根据题意甲、乙两个人现在的年龄分别为 2x+4 岁、x+4 岁当甲 61 岁时，乙的年龄为 2x+4 岁，根据题意可得方程 2x+4+x=61， 解之得 x=19， 则甲的年龄为；2x+4=219+4=42（岁） ；乙的年龄为 19+4=23（岁） 。 答：甲现在 42 岁，乙现在 23 岁解法二：设甲现在年龄 x 岁，乙现在年龄 y 岁， 则 x+(x-y)=61 y-(x-y)=4 ， 整理得 2x-y=61 -x+2y=4 +2 得 3y=69，即 y=23，把 y=23 代入得 x=42 原方程的解为 x=42，y=23 答：甲现在 42 岁，乙现在 23 岁9.校园里原有桃树比李树的 3 倍多 1 棵，现在又种桃树 9 棵、李树 5 棵，这样桃树比李 树多 17 棵，求原来桃树、李树各多少棵？ 分析：本题等量关系为：3李树棵数+1=桃树棵数；9+桃树棵数-17=李树棵数+5 解：设李树原有 x 棵，则桃树原有（3x+1）棵，据题意有 3x+1+9=x+5+17 解之得 x=6 则桃树有：3x+1=36+1=19（棵） 答：桃树原有 19 棵，李树原有 6 棵。10. 如图所示，小明将一个正方形的纸片剪去一个宽为 4 厘米的长条后，再从剩下的长方 形纸片上剪去一个宽为 5 厘米的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每个 长条的面积是多少？ 考点：一元一次方程的应用 专题：几何图形问题 分析：经分析显然要设正方形的边长是 xcm根据“两次剪下的 长条面积正好相等”这一关系列出方程即可 解：设正方形的边长是 xcm 则有：4x=5（x-4）， 解得 x=20， 则 4x=80， 故长方条的面积为 80cm2二、行程问题二、行程问题 【解题指导解题指导】 （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度时间。 （2）基本类型有1）相遇问题；(V 甲+V 乙)T=S2）追及问题:第一种,同时不同地,第二种,同地不同时.（V 快-V 慢）T 追及的时间=S 追 及的路程 3 3）环道问题：第一种：相向而行）环道问题：第一种：相向而行 （V V 甲甲+V+V 乙）乙）T=1T=1 圈圈 第二种：同向而行第二种：同向而行 （V V 快快-V-V 慢）慢）T=1T=1 圈圈 4 4）行船问题：）行船问题：V V 顺顺=V=V 静静+V+V 水水 V V 逆逆=V=V 水水-V-V 静静 2V2V 水水=V=V 顺顺+V+V 逆逆 2V2V 静静=V=V 顺顺-V-V 逆逆 5 5）飞行问题：）飞行问题：V V 顺顺=V=V 静静+V+V 风风 V V 逆逆=V=V 风风-V-V 静静 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题 就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。11. “国庆”期间，学校组织七年级学生参加“国庆专题展” ， 原计划租车 42 座客车 16 辆，恰好坐满，但由于 126 名学生是骑自行车前往的，所以学校改变了租车方案。 （1）学校改变租车方案后，实际应租借多少辆客车？ （2）若自行车的速度是 10 千米/时，出发 1 小时后，客车以 40 千米/时的速度行驶，结果 全体同学同时到达指定地点，则客车行驶了多长时间？ 解：设学校实际租借客车 x 辆，则可以乘坐学生 42x 人，得方程42x+126=4216 解之得：x=13 答：实际应租借 13 辆客车。 （2）设客车行驶了 y 小时，则骑自行车行驶了（y+1）小时，得方程 10（y+1）=40y 解之得：y=1/3 答：客车行驶了 1/3 小时。12. 甲、乙两站相距 365km，一列慢车从甲地开往乙地，每小时行驶 65km，慢车行驶 1h 后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶 85km，快车行驶几小时后与慢车相遇？分析：本题等量关系：慢车行驶的路程+快车行驶的路程=甲、乙两站间的距离 解：设快车行驶 x 小时后与慢车相遇，则 65+65x+85x=365 解之得 x=2 答：快车行驶 2 小时后与慢车相遇。13. 甲从 A 地到 B 地需 4h，乙从 B 地到 A 地需 10h。 （1）若两人同时相向而行，几小时可以相遇？（2）若两人同时同向而行，甲几小时可以 追到乙？解：（1）设 xh 可以相遇，据题意有 x+x=141 101解得 x=720答：两人相向而行，小时可以相遇。720（2）设甲 yh 小时可以追到乙，据题意有 y-y=141 101解得 y=320答：两人同向而行，甲小时可以追到乙。32014. 一艘轮船在两个码头之间航行，顺流要航行 4h，逆流要航行 5h，如果水流的速度为 3km/h，求两码头间的距离。 解法一分析：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；速度=路程 时间。解法一：设两码头间的距离为 xkm，则顺流的速度为km/h，逆流的速度为km/h，则4x 5x=3)54(21xx解之得 x=120 答：两码头间的距离为 120km。解法二分析：路程=速度时间 解法二：设船在静水中的航速为 xkm/h，则船顺水时航速为（x+3）km/h，船逆水时航速为 （x-3）km/h，则 4(x+3)=5(x-3) 解之得 x=27 则两码头间的距离为 4(x+3)=4(27+3)=120（km） 答：两码头间的距离为 120km。15. 某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，共用了 3h，已知船在静 水中的速度是 8km/h，水流的速度为 2km/h，甲、丙两地相距 2km，求甲、乙两地的 距离。 分析：本题中的数量关系有三个方面： 船在顺水中的航速=船在静水中的速度+水流速度； 船在逆水中的航速=船在静水中的速度-水流速度； 速度时间=路程 解：设甲、乙两地相距 xkm，分两种情况： 当丙在甲、乙两地之间时，=3 即=3282 28xx 62 10xx解之得 x=12.5 当丙在甲地上游时，=3 即=3282 28xx 62 10xx解之得 x=10 答：甲、乙两地相距 12.5km 或 10km。16. 一艘轮船航行在 A、B 两码头之间，已知水流速度是 3 千米/小时，轮船顺水航行需要 5 小时，逆水航行需要 7 小时，求 A、B 两码头之间的航程是多少千米？ 考点：一元一次方程的应用 专题：行程问题 分析：可根据船在静水中的速度来得到等量关系为：航程顺水时间-水流速度=航程逆 水时间+水流速度，把相关数值代入即可求得航程 解：设 A、B 两码头之间的航程是 x 千米-3=+3，5x 7x解得 x=105， 故答案为 10517. 一艘轮船从甲乙码头顺流行驶用了两个小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶用了 2.5 小时。已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的平均速度。 考点：一元一次方程的应用 专题：行程问题 分析：等量关系为：顺水速度顺水时间=逆水速度逆水时间即：2（静水速度+水 流速度）=2.5（静水速度-水流速度） 解：设船在静水中的平均速度为 x 千米/时，则顺流速度为（x+3）