个性化辅导讲义个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司1学生：学生： 科目：科目： 第第 阶段第阶段第 次课次课 教师：教师： 课课 题题高一必修高一必修 1:1:高一期中考试综合复习高一期中考试综合复习教学目标教学目标1.掌握集合、函数及其表示以及函数的基本性质。 2.掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数 有一个新的认识.重点、难点重点、难点重点：重点：函数的基本性质；指数函数、对数函数的性质的运用。 难点：难点：函数的定义域、值域和解析式的求法；指数函数、对数函数的相关 性质。考点及考试要求考点及考试要求1.学会把集合问题转化成其他数学问题、函数及其表示以及函数的单调性 和奇偶性的应用，掌握数形结合、分类讨论的思想来解题。 2.掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质；对复合函数、抽象函 数有一个新的认识.教学内容教学内容知识框架知识框架1.11.1 集合集合 一、集合有关概念 1.1.集合的含义 2.2.集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 (1) 集合的表示：用拉丁字母表示集合。 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ；（2）A 与 B 是同一集合。BA 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA 2 “相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即： 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作AB(或 BA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集个性化辅导讲义个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司7三、集合的运算 运算 类型交 集并 集补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的交集记作AB（读作A 交IB ） ，即AB=x|xA，I且 xB 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作：AB（读作A 并 B ） ，U即 AB =x|xA，U或 xB)设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元 素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或 余集）记作，即ACSCSA=,|AxSxx且韦 恩 图 示AB图 1AB图 2性性 质质AA=A IA=IAB=BAIIABAIABBIAA=AUA=AUAB=BAUUABUABBU(CuA) (CuB)I= Cu (AB)U(CuA) (CuB)U= Cu(AB)IA (CuA)=UUA (CuA)= I1.21.2 函数及其表示函数及其表示 一、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和 它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数 的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；S AS A个性化辅导讲义个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司9(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义 域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ； 定义域一致 (两点必须同时具备) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标， 函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图 象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作 “f（对应关系）：A（原象）B（象） ” 对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。1.31.3 函数的基本性质函数的基本性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x1，x2，当 x11，且*nnN负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作。00 n当是奇数时，当是偶数时，naannn )0()0(|aa aaaann2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：，) 1, 0(*nNnmaaanmnm) 1, 0(11*nNnma aaa nm nmnm0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa ；), 0(Rsra（2）rssraa)(；), 0(Rsra（3）srraaab)(), 0(Rsra （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，) 1, 0(aaayx且 其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质 a10100，=，xxy12)1(2xx2- -2 22 2- -1 11 1f x = x+1x oyx个性化辅导讲义个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司13当 x0 时，=奎屯王新敞新疆)1(xxy2)1(2xx2值域是2，+)头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头（此法也称为配方法）U2,(函数的图像为：xxy1值域是2，+)头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头U2,(4判断下列函数的奇偶性：( )(4)(4)f xlgxgx2211(0)2( )11(0)2xx g x xx 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()( )( )fxf xf x是否等于或解：（1）0 且=，它具有对称性因( )f xxx的定义域是|4+4x0| 4x x4为，所以是偶函数，不是奇函数()(4)(4)( )fxlgxlgxf x( )f x（2）当0 时，0，于是xx2211()()1(1)( )22gxxxg x 当0 时，0，于是xx222111()()11(1)( )222gxxxxg x 综上可知，在 RR+上，是奇函数( )g x知识概括、方法总结与易错点分析知识概括、方法总结与易错点分析例题中考查集合的性质，求解存在性问题，要想清楚包含的情况。 理解交集、并集、补集的真正含义。 灵活掌握函数的定义域、值域和解析式的多种求法：1.直接法。2.配方法。3.换元法。4.单调性法等 注意：注意：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数0 是一个特 xf殊的函数，它既是奇函数又是偶函数（但要注意定义域） 。针对性练习针对性练习1已知集合，集合。8x24xA0axxB个性化辅导讲义个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司13（1）若，求 a 的范围；BA （2）若全集 U=R 且，求 a 的范围。BCAU2.求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）；（4）232yxx265yxx31 2xyx； （5）； （6）4 1yxx21yxx|1|4|yxx3.判断函数的奇偶性：（1）；（2）； xf222 1xx x xf2211xx 考点二：基本初等函数考点二：基本初等函数典型例题典型例题1已知定义域为 R 的函数是奇函数 （）求 a，b 的值；（）若对任意的 tR，不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 恒成立，求 k 的取值范围分析：（）利用奇函数定义 f（x）=f（x）中的特殊值求 a，b 的值；（）首先确定函数 f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式 f（t22t）+f（2t2k）0 转化为关于 t 的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出 k 的取值范围