课程十二行程问题 行程问题是速度差的问题解答行程问题的关键是弄清楚题意,分析各数量之间的关系,然后选择 解答方法,距离、速度、时间是这类问题的基本要素，它们有如下三个基本公式: 距离速度时间； 速度距离时间； 时间距离速度。在行程问题中，有一点很重要；如果两人同时出发，那么他们所用的 时间是相等的。例 1小王骑车到城里开会，以每小时 12 千米的速度行驶，2 小时可以到达。车行了 15 分钟后,发现忘记带文件,以原速度返回原地,这时他每小时行多少千米才能按时到达?分析与解法要求小王返回原地后到城里的速度,就必须知道从家里到城里的路程和剩下的时间.根据题意,这两个条件都可以求出。15 分钟=小时41从家里到城里的路程:122=24（千米）返回后还剩的时间:2-2=1（小时）41 21返回后去城里的速度:241 =16（千米/小时）21答:他每小时行 16 千米才能按时到达。例 2学习目标重 点总 结龟、兔进行 1000 米的赛跑。小兔斜眼瞅瞅乌龟,心想:”我小免每分钟能跑 100 米,而你乌龟每分钟只能跑 10 米,哪是我的对手.”比赛开始后,当小免跑到全程的一半时,发现把乌龟甩的老远,便毫不介意地躺在旁边睡着了。当乌鬼跑到距终点还有 40 米时，小兔醒了，拔腿就跑。请同学们解答两个问题：（1）它们谁胜利了？（2）胜者到终点时，另一个距终点还有几米？分析与解法（1）乌龟胜利了。（2）乌龟跑到终点还要（4010）=4（分钟），而小兔跑到终点还要（10002100）=5（分钟），慢 1 分钟。乌龟跑到终点时，小兔离终点还有 1001=100（米）例 3甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行。出发 2 小时后，两人相距 54 千米；出发 5 小时后，两人相距 27 千米。问出发多少小时后两人相遇？分析与解法根据 2 小时后相距 54 千米，5 小时后相距 27 千米，可以求出甲、乙二人 3 小时行的路程和为（54-27）千米，即可求出两人的速度和。根据相遇问题的解题规律；相隔距离速度和=相遇时间，可以求出行 27 千米需要几小时。甲、乙二人每小时共行（54-27）（5-2）=9（千米）。从出发到相遇的时间为 5+279=5+3=8（小时）答：出发 8 小时后两人相遇。例 4有甲、乙、丙三人，甲每小时行 3 千米，乙每小时行 4 千米，丙每小时行 5 千米。甲从 A地，乙、丙从 B 地同时相向出发。丙遇到甲后立即返回，再遇到乙，这时恰好从出发时间开始算经过了 10 小时， 求 A、B 两地之间的距离。分析与解法 画出示意图： 图中，甲、丙在 C 点相遇后，丙返回与乙在 P 点相遇。要求 A、B 之间的距离，只要知道甲、丙的速度和与甲、丙相遇的时间就好办了。甲、丙的速度和为（3+5）千米/小时，关键是要求出甲、丙的相遇时间。如图所示，当甲、丙二人在 C 点相遇时，乙走到 D 点；丙返回和乙在P 点相遇时，这时丙与乙各走了 10 小时。因此，乙、丙 10 小时各走的路程均可求出。丙比乙多走的路程为 CP 的 2 倍，故 CP 的距离可以求出。从 10 小时中去掉 CP 用的时间就是甲、丙的相遇时间。丙 10 小时比乙多走的路程:510-410=10（千米）甲、丙二人的相遇时间:10-1025=9(小时)A、 B 两地间的距离：（3+5）9=72（千米）答：A、B 两地间的距离为 72 千米。例 5张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行。张明平均每小时行 5 千米，而李军第一小时行 1 千米，第二小时行 3 千米，第三小时行 5 千米（连续的奇数）两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。问甲、乙两地相距多少千米？同学们，会解这道题吗？分析与解法关键是求相遇时间。由于两人在中点相遇，因此李军的平均速度也为每小时 5 千米。5就是几个连续奇数的中间数，如 1，3，5，7，9 共有五个奇数，即从出发到相遇经过了 5 小时。甲、乙之间距离为 552=50（千米）。例 6某船往返于相距 180 千米的两港之间，顺水而下需用 10 小时，逆水而上需用 15 小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需 9 小时，那么逆水而行需要几小时?分析与解法这道行程问题除了涉及路程、船速、时间外，还涉及水流速度，因此我们称它为“流水问题”。其数量关系式为：静水速度+水流速度=顺水速度。静水速度-水流速度=逆水速度。根据和差问题的算法，可得到下列关系式：（顺水速度+逆水速度）2=静水速度。（顺水速度-逆水速度）2=水流速度。因此，本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出。但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度。船在静水中的速度是（1810+180 15）2=15（千米/小时）暴雨前水流的速度是（18010-180 15） 2=3（千米/小时）暴雨后水流的速度是 180 9-15=5（千米/小时）暴雨后船逆水而上需用的时间为：180 （15-5）=18（小时）答：逆水而上需要 18 小时。例 7某汽艇往返于甲、乙两地，在静水中往返一次所花费的时间和在流水中往返一次所花费的时间是否相等？分析与解法不相等。汽艇在流水中往返一次所花费的时间长些。假设两地相距 50 千米，艇在静水中 速度为每小时 20 千米，水速为每小时 5 千米。在静水中往返一次费时：50220=5（小时）；在水流中往返一次费时：50（20+5）+50（20-5）=15（小时）13例 8一条隧道长 360 米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了 8 秒钟，从车头入洞到全车出洞共用了 20 秒钟。这列火车长多少米？分析与解法画出示意图如图，火车 8 秒钟行的路程是火车的全长，20 秒钟行的路程是隧道长加火车长。因此，火车行隧道长（360 米）所用的时间是（20-8）秒钟，即可求出火车的速度。火车的速度是 360 （20-8）=30（米/秒）火车长 308=240（米）答：这列火车长 240 米。例 9例 8 中的这列火车如果跟长 260 米、时速 72 千米的列车迎面错车而过，需要多少秒钟？分析与解法（240+260）（30+）=10（秒）7200036001. 一辆汽车从甲地到乙地，每分钟行 525 米，预计 40 分钟到达。但行到路程的一半时，机器发生故障，用 5 分钟修车。若仍按原定时间到达，那么行驶余下的路程，每分钟要比原来快多少米？2. 从李丹的家到长途汽车站有 3 千米，现在从家往车站去，如果用每小时 4 千米的速度行走，在汽车发车前 17 分钟到达车站；如果想在汽车发车前 2 分钟到达车站，那么需要每小时多少千米的速度行走？练 习3. 在 35 米长的游泳池里，甲和乙分别用每秒 2 米和 1.5 米的速度同时从一端的起点出发。经过几秒钟后甲游到端点返回与乙相遇？4. 芳芳和园园分别在 60 米跑道的两端同时出发来回跑步。芳芳每秒钟跑 2 米，园园每秒钟跑 3 米。他俩不停地跑了 5 分钟。问在这段时间内共相遇了多少次？5. 建新号船顺水而下行 200 千米要 10 小时，逆水而上行 120 千米也要 10 小时。那么，在静水中航行 280 千米需要几小时？6. 铁路旁边与铁路平行的小路上有甲、乙两个人向北行走。当一列长 180 米的火车向南驶来时，甲站立观看，火车从他面前驶过用了 10 秒钟，火车从乙身旁驶过用了 秒。3913求火车和乙行走的速度各是多少？7. A、B 两地相距 21 千米，甲从 A 地出发，每小时行 4 千米，同时乙从 B 地出发，每小时行3 千米，相向而行。在途中相遇以后，继续相背而行。各自到达目的地后立即返回，在途中第二次相遇。问两次相遇点相距多少千米？8. 如图所示，一条路，PA 和 PB 距离的比为 1：2。张明上午 9 点钟以每小时 4 千米的速度从A 出发步行到 P，赵亮在同一时刻骑车以每小时 10 千米的速度从 B 到 P，比张明早 20 分钟到达 P 地。（1）A、B 间的距离是多少千米？（2）张明到达 P 地是几时几分钟？1. 525402 （402-5）-525=175（米）。2. 现在比原来多用 17-2=15（分钟）=小时，原来用 34= （小时） ，李丹现在的速度1434为 3（ + ）=3（千米/小时）34143. 35 2（2+1.5）=20（秒）。4. 5 分钟=300 秒。两人第一次的相遇时间为 60 （2+3）=12（秒），以后每 24 秒相遇一次，因此(300-12)(122)+1=13(次)。5. 280 （200 10+12010 ） 2=17.5（小时）6. 火车速度：18010=18（米/秒）乙速：180-18=1.5（米/秒）36137. 如图。AM=421(4+3)=12 (千米)，MA+AN=3212(4+3)=18（千米），MN=12-(18-12)=6(千米)。练习答案8. 设 AB 的距离为“1” ，20 分钟= 小时。31（1）当赵亮走到 P 地时，张明离 P 地之间距离为：4 =1(千米)，AB=1(-)=20(千米)。131313112212104（2） （20-1） （4+10）+ =1（小时）=1 时 40 分钟，即上午 10 时 40 分钟。131323