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第二章 一元函数微分学 三、极限的计算方法(二) 4利用两个重要极限求极限exxxxx x )11 (lim21sin 0lim1:个重要极限的标准形式第:个重要极限的标准形式第注意:对于两个重要极限,不仅要记住他们的标准形式,更重要的是理解其本质特 征,明确其一般形式。1)()(sinlim1sinlim0)(010)()(1xxxxxxxxxxx为:个重要极限的一般形式则第,的某个变化过程中,若的函数,在为,设其自身之比的极限是正弦与的特征是:无穷小量的是无穷小量,即此极限中,在限的特征为:是无穷小量,因此该极时中,在xxex xx1)11 (lim为个重要极限的一般形式,则第的某个变化过程中,若在。的极限为大量互为倒数其中,无穷小量与无穷无穷小量)无穷大量20)()(1 (xxeexxx )(10)()(1 (lim)(sinsinlim6 0均为常数,求极限例babxaxx两个函数乘积的极限,于是可把上极限化为解:因bxxxaxbxaxsinsinsinsin求解。又当 x0 时,ax0,bx0,于是有ba babxbxbaxaxabxx xax bxaxxxxxx1111sin1lim1sinlimsinlimsinlimsinsinlim00000txt tsinlim7 求极限例xxxtxtxtxt tttxtxtt 1)sin (limsinlim0是无穷小量,于是有,即时,是变量,当解:在极限过程中,220sin11lim8xxx求极限例分析:当 x0 时,分子,分母的极限均为 0,且分子是一个无理函数,分母是正弦函数,于是可先把分子有理化(分子,分母同乘以) 11(2 x,然后看是否可利用第1 个重要极限。 21 211111limsinlim ) 11(sin11limsin11lim 202202220220 解: xxxxxx xxxxxx)()1 (lim9为常数求极限例knknn 个重要极限求解。,即可利用第量配成互为倒数的形式再把无穷小量与无穷大型,无穷小是无穷小量,符合“,即时, 分析:当”)无穷大21 (0nknknkkknnnnenk nk )1(lim)1 (lim解:)()1 (lim1010为常数求极限例kkxxx 极限求解。个重要”,即可利用第”的倒数“配成“”型,再把无穷小)“于是无穷大量,即极限属是无穷小量,时, 分析:当无穷大2111 (10kxkxxxkxxkkkxxxxekxkx)1(lim)1 (lim1010解:3)5(lim11xxxx求极限例5355331)51(lim)51 (lim)51 (lim)5(limexxxxxxxxxxxx解:nnnn)13(lim12求极限例444141)11 (lim)11(lim)11 (lim)13(lim14114141141131eetttnntttttnntntntnnnnnn,于是有:时,且当,即 故令因为:解法解法 2:4 13133)11(lim)31(lim)11 (lim)31 (lim )1131 (lim)13(limeeennnnnn nnnnnnnnnnnnnn 5利用通分、三角公式等恒等变形后再求极限。 xxxx31 ) 3(1lim13 0求极限例。形后再求极限。式,一般采用先通分变”型未定属“均趋于无穷大,此极限与时, 分析:当xxxx3131091 )3(31lim)3(3)3(3lim31 )3(1lim 000 xxxx xxxxxx解:xxxxtancos1lim14 0求极限例分析:当 x0 时,分式中分子分母的极限均为 0,不能直接使用极限的运算法则, 但前面所介绍“分解因式” 、 “有理化”的方法在此又不适用。能否利用第 1 个重要极限呢? 这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。xx xxxxxxxxxxx xxxxx xxxcos1cossin)cos1 (cossinsin)cos1 (tancos1 )cos1 (tan)cos1)(cos1 ( tancos122 解:21 211cos1coslimsinlimtancos1lim 000xx xx xxxxxx所以,6利用无穷小量的性质求极限极限计算小结 利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”这一性质求极限。1sinlim152xxxx求极限例解:因当 x时,sinx 的极限不存在,故不能用极限的运算法则求解,考虑到0111lim1lim22 xx xxxx是无穷小量,即的性质,是有界变量,由无穷小,即是无穷小量,而时, 即x xxxx xxxsin 12sin1sin 12 01sinlim2xxxx 极限计算小结: 以上介绍了极限计算中常用的 6 种基本初等方法,在实际运用中,要首先判定所求 极限属于哪一种类型,视具体情况灵活正确运用。同时,也要注意各种方法的综合运用。 极限计算是本章的重点内容之一,要求大家加强练习,熟练掌握。
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