120172017 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨暨 20172017 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：（考试时间：20172017 年年 5 5 月月 2121 日上午日上午 9 9：00001111：3030，满分，满分 160160 分）分）一、填空题（共一、填空题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，满分分，满分 6060 分。请直接将答案写在题中的横线上）分。请直接将答案写在题中的横线上）1已知集合，若，则实数的2log (1)1Axx2BxxaAB a取值范围为 。【答案答案】 ( 1 5) ，【解答解答】由，得，。2log (1)1x012x 13x(1 3)A ，由，得，。2xa22xa 22axa(22)Baa，若，则或，或。AB 21a23a1a 5a 时，的取值范围为。AB a( 1 5) ，2已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，当时，( )f xR(1)yf x10x ，则 。3( )f xx9( )2f【答案答案】 1 8【解答解答】由函数为偶函数，知。(1)yf x(1)(1)fxf x 又为奇函数，( )f x ，。(2)()( )f xfxf x (4)(2)( )f xf xf x 。391111( )( )()()22228fff 3已知为等比数列，且，若，则 na120171a a22( )1f xx。1232017()()()()f af af af aL【答案答案】 2017【解答解答】由知，。22( )1f xx2222212222( )( )211111 ( )xf xfxxxx x 为等比数列，且， na120171a a 。120172201632015201711a aa aa aaaL 。12017220163201520171()()()()()()()()2f af af af af af af af aL 12320172()()()()f af af af aL 12017220163201520171()()()()()()()()f af af af af af af af aL2。2 2017 。1232017()()()()2017f af af af aL4将 8 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级，每班至少 1 个名额，则甲班恰好分到 2 个名额的概率为 。【答案答案】 2 7【解答解答】将 8 个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁 4 个班级，每班至少 1 个名额的不同分配方案有种。 （用隔板法：将 8 个名额排成一排，在它们形成的 7 个空挡中插入 33 735C 块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。 ）其中，甲班恰好分到 2 个名额的分配方案有种。 （相当于将 6 个名额分配个 3 个2 510C 班级，每班至少 1 个名额。 ）所以，所求的概率为。102 3575三棱锥中，是边长为的等边三角形，且二面角PABCABC2 35PBPC的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为 。PBCA45PABC【答案答案】 25【解答解答】如图，取中点，连，。BCDADPD由是边长为的等边三角形，知，ABC2 35PBPC，。ADBCPDBC2PD 为二面角的平面角，PDAPBCA，。45PDABCPAD 面PADABC面面作于，则。1POAD1O1POABC 面 ，为的外心，111POO D12O A 1OABC三棱锥为正三棱锥。PABC设三棱锥外接球的球心为，半径为。PABCOR则在直线上，且。O1PO222 11POPOO AOA ，三棱锥的外222(1)2RR5 2R PABC接球的表面积为。2425R6已知为双曲线：上一点，、为双曲线的左、右焦点，、PC22 1412xy1F2FCM分别为的重心、内心，若轴，则内切圆的半径为 。I12PFFM Ix12PFF【答案答案】 6DACBO1PO3【解答解答】如图，不妨设点在第一象限，、分别为与三边相切的PDEFI12PFF切点。则由切线长定理以及双曲线定义，得121212122()()aPFPFPFFFPEEFFFEFFDF D()()2DDDxccxx ，。2Dxa2MIDxxx设，由为重心，知00()P xy，M12PFF，。036Mxx04 6y ，22 1(64)(4 60)14PF。22 2(64)(4 60)10PF设内切圆半径为 ，则12PFFr。 1 212121()162PF FSPFPFFFrr另一方面，。 1 2120118 4 616 622PF FSFFy ，。1616 6r 6r 7在中，内角、所对的边分别是、 ，且ABCABCabc，则的面积为 。sincos(2cos)sin22AACC3cos5A 4a ABC【答案答案】 6【解答解答】由，知。sincos(2cos)sin22AACC22sincos2(2cos)sincos222AAACC ，。sin(1 cos)(2cos)sinCACAsinsincos2sincossinCCAACA ，。sinsincoscossin2sinCCACAAsinsin()2sinCCAA ，即。sinsin2sinCBA2cba又，。3cos5A 4a ，即，解得或。22242cosbcbcA22234(8)2 (8)5bbbb3b 5b ，或。3 5b c 5 3b c 4 的面积。ABC114sin3 56225SbcA 8若关于的方程（，）在区间上有实根，则x230xaxbabR1 2，的最小值为 。22(4)ab【答案答案】 2【解答解答】由知，。230xaxb23bxax 22222222222(4)(1)(1)2(1)abaxaxaxax xa x 。222222(1)(12)(1)()1xxaxaxxax ，1 2x， ，当，时，等号成立。222(4)12abx 1x 1a 3b 的最小值为 2。22(4)ab9函数的最大值为 。( )271244f xxxx【答案答案】 11【解答解答】由柯西不等式知，22271244( 271244)( 326)326xxxxxx。2271244(326)()11326xxx当且仅当，即，时等号成立。326 271244 326xxx9436 271244xxx8x 的最大值为 11。( )f x10.、为圆上不同的三点，且，点在劣弧内（点与、ABCO120AOBCABCA不重合） ，若（，） ，则的取值范围为 BOCOAOBuuu ruuruu u r R。【答案答案】 1 2，【解答解答】如图，连结交于点。OCABD设，则由，得ODmOCuuu ruuu r OCOAOBuuu ruuruu u r。ODm OAmOBuuu ruuruu u r 、三点共线，ADB ，。1mm1 m不妨设圆的半径为 1，作于，由，OEABE120AOBEDOABC5知。1 2OE ，且点在劣弧内（点与、不重合） ，1 2ODOECABCAB 。于是，。112m12 的取值范围为。1 2，另解：另解：如图，以为原点，线段的垂直平分线所在直线为轴建立直角坐标系。OABy不妨设圆半径为 2，则由，知，。O120AOB(3 1)A ，( 3 1)B，设。(2cos2sin)C，则由，得OCOAOBuuu ruuruu u r。(2cos2sin)(3 1)( 3 1)， 。2sin 点在劣弧内（点与、不重合） ，CABCAB 。30150 ，。1sin122sin1 2， 的取值范围为。1 2，6二、解答题（共二、解答题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 2020 分，满分分，满分 100100 分。要求写出解题过程）分。要求写出解题过程）11若数列中的相邻两项、是关于的方程 nana1nax（1，2，3，）的两个实根，且。20nxnxcn 11a （1）求数列的通项公式； na（2）设，求数列的通项公式及的前项的和。21nnbc nb nbnnT（必要时，可以利用：）2222(1)(21)1236n nnnL【解答解答】 （1）依题意，由韦达定理，得，。1nnaan1nnnca a ，即。 5 5 分分121()()(1)1nnnnaaaann21nnaa ，；和，都是公差为 1 的等差数列。1a3a5a2a4a6a又，。11a 2110aa 对，。*kN 21kak21kak即。 1010 分分1 2 2 2nnn ann ，为奇数，为偶数（2）由（1）知，。2 2121221 1 22(1)22nnnnnnbcaan nnn 1515 分分 2222(1)(21)(1)(123)(123)62nn nnn nTnn LL。(1)(1) 3n nn 2020 分分712已知椭圆：（）过点，且离心率为。过点作两C22221xy ab0ab( 2 1)P ，2 2P条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点（、与点不重合） 。求证：直线过定ABABPAB点，并求该定点的坐标。【解答解答】依题意，有，且。22411ab222 2cab aa解得，。26a 23b 椭圆的方程为。 5 5 分分C22 163xy易知直线斜率存在，设方程为。ABABykxm由，得22 163yk