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用心 爱心 专心高三数学函数图象与变换、函数性质的综合应用、导数的概念与应高三数学函数图象与变换、函数性质的综合应用、导数的概念与应 用(理)人教实验版(用(理)人教实验版(B)【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容: 函数图象与变换、函数性质的综合应用、导数的概念与应用二. 知识分析 函数图象与变换 【高考要求】 给出函数的解析式或由条件求出函数的解析式,判断函数的图象; 给出函数的图象求解析式; 给出含有参数的解析式和图象,求参数的取值范围; 考查函数图象的平移、对称和翻折; 和数形结合有关问题函数的图象是函数的直观体现,运用函数的图象研究函数的 性质非常方便函数的图象正成为高考命题的热点之一 重点:已知解析式判断函数图象或已知图象判断解析式中参数的范围; 函数图象的平移、对称和翻折; 从基本函数的图象变换到复合函数的图象等 难点: 利用函数性质识图; 和数形结合有关的问题【典型例题典型例题】例 1、函数的图象无论经过平移还是沿直线翻折后仍不能与的图象重合,)(xfxy21log则是( ) (A)(B) (C) (D))(xfx2x4log2) 1(log2xx421解析:解析:将的图象沿直线翻折即可与的图象重合,排除x xy 212xy xy21logA;将沿轴翻折即可与图象重合,排除 B;xxy214loglog2xxy21log将的图象向右平移 1 个单位,再沿轴翻折即可与) 1(log) 1(log212xxyx的图象重合,排除 C,故选 Dxy21log例 2、设,二次函数的图象为下列之一:0b122abxaxy用心 爱心 专心则 a 的值为( )(A)1 (B)1(C)(D)251 251解析:解析:前两个函数图象关于轴对称,故,与条件不符,后两个函数图象都过定y0b点(0,0) ,故,即,又由对称轴大于零,即,由得,012a1a02abx0b0a所以取,故选 B1a例 3、设函数的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数,则)(xf)(1xf0)4(f= )4(1f解析:解析:由,即过点(4,0) ,又的图象关于点(1,2)对称,可知:0)4(f)(xf)(xf过点(,4) ,故=)(xf24)2(f)4(1f2例 4、 (1)已知函数的图象如图(甲)所示,的图象如图(乙)所示,( )yf x( )yg x则函数的图象可能是图 A、B、C、D 中的 ( )( )( )yf xg x(2)对函数定义域中任一个的值,均有,求证:( )yf xx()()f xaf ax 的图象关于直线对称。( )yf xxa解析:解析:(1)由图象可知是偶函数,是偶函数,是偶( )yf x( )yg x( ) ( )yf x g x函数,排除 A,D。 又当取非常小的正数时,。x( )0, ( )0f xg x则有,排除 B,故应选 C。( ) ( )0yf x g x(2)证明:设是函数图象上任一点,则00(,)xy( )yf x00()yf x又00000()(),(2)()()()f axf axfaxf aaxf aaxf xy所以也在函数图象上,而00(2,)axy00(2) 2axxa用心 爱心 专心所以与点关于直线对称00(,)xy00(2,)axyxa故的图象关于直线对称( )yf xxa例 5、已知函数,是方程的两根,且,试2)()(bxaxxfmn0)(xfba nm 判断实数, ,的大小关系abmn 解析:解析:,2)()(bxaxxf,2)(af2)(bf,是方程的两根,ab2)(xf即函数的图象与直线交点的横坐标而,是方程的两根,)(xfy 2ymn0)(xf,为函数的图象与轴交点的横坐标mn)(xfy x又,故如图所示可得ba nm nbam例 6、已知函数,) 1, 0)(1(log)(aaaxfxa (1)证明:函数的图象在轴一侧;)(xfy (2)设,是图象上的两点,证明直线的斜率大于零;),(11yxA)(,(2122xxyxBAB(3)求函数与的图象交点坐标)2( xfy )(1xfy解析:解析:(1)由即,当时,函数图象在轴右侧;当01xa1xa1a0xy时,函数图象在轴左侧,故函数图象总在轴一侧10 a0xyy(2)由于,又由,故只需证即可 2121 xxyykAB21xx 012 yy,11log) 1(log) 1(log 12 1212xxax ax aaaaayy当时,由得,即,故有,1a210xx 210xxaa11021xxaa1 1112 xxaa,即;0 11log 12 xxaaa012 yy当时,由得,即,故有,10 a210xx 121xxaa01121xxaa1 110 12 xxaa,即0 11log 12 xxaaa012 yy综上直线 AB 的斜率总大于零. (3),当它们图象相交时:可解)(1xf) 1(logxaa) 1(log)2(2xaaxf1xa12xa得:,所以,即交点坐标为:,2xa2logax 3logay 2(loga)3loga函数性质的综合应用 【高考要求】 函数的综合应用在高考中的分值大约为 20 分左右,题型的设置有小题也有大题,其中 大题有简单的函数应用题、函数与其它知识综合题,也有复杂的代数推理题,可以说函数用心 爱心 专心性质的综合应用是高考考查的主要着力点之一 重点: 函数的奇偶性、单调性和周期性; 函数与不等式结合; 函数与方程结合; 函数与数列结合; 函数与向量结合; 利用导数来刻画函数 难点: 新定义的函数问题; 代数推理问题,常作为高考压轴题【典型例题典型例题】例 1、设函数是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若,则)(xf1) 1 (f143)2(aaf的取值范围是( ) a(A)(B)且43a43a1a(C)或(D)43a1a431a解析:解析:以 3 为周期,所以,又是 R 上的奇函数,)(xf) 1()2( ff)(xf,则,再由,可得,即 ,解) 1 () 1(ff) 1 () 1()2(fff1) 1 (f1)2(f1143 aa之得,故选 D431a例 2、设是函数的反函数,则使成立的 x)(1xf1( )() (1)2xxf xaaa1)(1xf的取值范围为( )(A) (B) (C) (D) ),21(2 aa)21,(2aa),21(2 aaa),a解析:解析:是 R 上的增函数,即 x f(1) 。又)(xf1( ) 1fx,故选 Aaaaaf21)(21) 1 (2 1 aax212例 3、已知函数,若方程有两个相等的实根,则函数 f(x)的解xbxxf32)(xxf2)(析式为_解析:解析:,方程即,则因为xbxxf32)(xxf2)(xxbx2320)4(62xbx方程有两个相等的实数根,所以 b = 4 时 x=0,符合题意234)(xxxf例 4、对 a,bR,记函数(xR)的最小值,max , ,.a aba bb ab( )max1,3f xxx是 解析:解析: .31,3,31, 13 , 1max)(xxxxxxxxxf用心 爱心 专心化简得: . 1,3 , 1, 1)(xxxxxf在坐标系中作出的图象,可知:当时,为增函数,)(xf1x)(xf;当时,为减函数。综上,2) 1 ()(min fxf1x)(xf2) 1 ()( fxf 2) 1 ()(min fxf例 5、已知是定义在区间上的奇函数,且,若( )f x 1,1(1)1f时,有。, 1,1,0m nmn ( )( )0f mf n mn(1)解析不等式1()(1)2f xfx(2)若对所有恒成立,求实数 的取值范围。2( )21f xtat 1,1, 1,1xa t解析:解析:(1)任取,则1221, 1,1,x xxx 与21 212121 2121()()()()()()()0()()()( ) 1()(1)2 111211 1104112f xfxf xf xf xfxxxxxf xf xf xf xfxxxxxx 所以是增函数即不等式的解集为)x1 (f)21x(f10, )4 (2)由于为增函数( )f x 的最大值为( )f x(1)1f恒成立2( )21 1,1, 1,1f xtatax 对对任意恒成立221 1tat 1,1a 对任意恒成立220tat 1,1a 把看作的函数,由知其图象是一线段。22ytata 1,1a 对任意恒成立220tat 1,1a 2222022( 1)0202,0,2202 1020ttttttttttttttt 或或或或例 6、设,若,求证:cbxaxxf23)(20cba0) 1 ()0( ff()方程有实根,且;0)(xf12ab()设是方程的两个实根,则;12,x x( )0f x 32 33 21xx()方程在(0,1)内有两个实根0)(xf用心 爱心 专心解析:解析:()若,则,与已知矛盾,0acb0)23() 1 ()0(2ccbacff方程=0 的 判别式由条件,消去 b,0a232axbxc24(3),bac 0cba得,故方程有实根由,043)21(4)(42222 ccaacca0)(xf0) 1 ()0( ff得,由条件消去,得,故0)23(cbac0cbac0)2)(baba12ab()由条件知,abxx32 21aba acxx3321212212214)()(xxxxxx。,所以,故31)23(942ab12ab 94)(31221xx32 33 21xx()抛物线的顶点坐标为(在的2( )32f xaxbxc),33,32abac ab12ab两边乘以,得0,f(1)0,而 f()=3131 ab 332 ab 3,所以方程在区间(内分别有一实根故方程0322 aacca( )0f x 与 )3, 0ab) 1 ,3ab在内有两个实根( )0f x (0,1)导数的概念与应用【高考要求】 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等) ,掌握函
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