数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 项式定理 1 项式定理 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 自主学习 新知突破 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 1 能用计数原理证明二项式定理 2 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 3 能解决与二项式定理有关的简单问题 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 问题 1 我们在初中学习了 (a b)2 2试用多项式的乘法推导 (a b)3、 (a b)4的展开式 提示 1 (a b)3 33(a b)4 464数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 问题 2 你能用组合的观点说明 (a b)4是如何展开的吗 ？ 提示 2 因 ( a b )4 ( a b )( a b ) ( a b )( a b ) 由多项式乘法法则知，从四个 a b 中选 a 或选 b 是任意的，若有一个选b ，则其余三个都选 a ，其方法有 ，式子为 若有两个选 b ，则其余两个选 a ，其方法有 ，式子为 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 二项式定理及相关的概念 二项式定理 ( a b )n 1b 各项的系数 _ ( r 0,1 ， ， n ) 二项式通项 T r 1 _ C C rn a n rb r 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 对二项展开式的几点认识 (1) 二项展开式的特点 项数： n 1 项； 指数：字母 a ， b 的指数和为 n ，字母 a 的指数由 n 递减到0 ，同时，字母 b 的指数由 0 递增到 n ； 二项式系数：下标为 n ，上标由 0 递增到 n . (2) 易错点 通项 1 r 1 项，不是第 r 项； 某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 1 在 ( x 3 ) 10 的展开式中， x 6 的系数是 ( ) A 27C 610 B 27C 610 C 9C 610 D 9C 610 解析： x 6 的系数为 C 410 ( 3 ) 4 9 C 410 9 C 610 . 答案： D 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 2 二项式x 1 项为 ( ) A 28 28 56 56 T 6 C 58 x 8 5 1 x 5 56 x 12 . 答案： C 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 3. x 12 x 8 的展开式中 x 2 的系数为 _ 解析： 利用二项展开式的通项公式求解 T r 1 r12 2 r. 令 8 2 r 2 ，得 r 3 ， 7. 答案： 7 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 4 求 ( 3 x 32 ) 100 展开所得 x 的多项式中，系数为有理数的项数 解析： T r 1 3 x )100 r(32 )r r3100 依题意有100 r2，Z ，所以 r 为 3 和 2 的倍数，即为 6 的倍数， 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 又因为 0r100， r N， 所以 r 0,6， ， 96， 构成首项为 0， 公差为 6， 末项为 96的等差数列 ， 由 96 0 (n 1) 6得 n 17， 故系数为有理数的共有 17项 . 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 合作探究 课堂互动 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 二项式定理的展开式 求 x 12 x 4 的展开式 思路点拨 解答本题先将 x 看成 a ，12 b ，利用二项式定理展开，也可以先将x 12 简后再展开 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 方法一：x 12 x )4 x )312 x x )212 12 12 2 x 3212 x116 方法二：x 12 2 x 12 16 2 x 1)4116 16 32 24 8 x 1) 2 x 3212 x116 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 规律方法 熟记二项式 (a b) 是解决此类问题的关键 ， 方法二相对方法一来说显得更加简单 ， 我们在解较复杂的二项式问题时 ， 可根据二项式的结构特征进行适当变形 ， 简化展开二项式的过程 ， 使问题的解决更加简便 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 1 (1) 求2 x 32 x 25 的展开式； (2) 求3 x 1展开式 解析： (1) 方法一：2 x 32 2 x )5 2 x )432 2 x )332 2 x )232 2 x )32 32 32 12 0 80x1354058 24332 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 方法二：2 x 32 4 3 532 132 1 024 3 840 5 760 4 320 1 620 43) 32 12 0 80x1354058 24332 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 (2) 方法一：3 x 1(3 x )4 3 x )31x 3 x )213 x )1181 10 8 x 54 12x1 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 方法二：3 x 13 x 11 3 x )411 3 x (3 x )2 3 x )3 3 x )4 11 12 x 54 10 8 81 112x 54 108 x 81 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 二项式定理的逆用 化简： (1)1 2C 1n 4C 2n 8C 3n ( 2) n C (2)C 0n ( x 1) n C 1n ( x 1) n 1 ( 1) k C x 1) n k ( 1) n C 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 思路点拨 (1)共有 n 1项 ， ( 2)按升幂排列符合二项式定理形式 (2)共有 n 1项 ， x 1的指数最高次为 n， 依次递减至 0， 且每项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 解析： (1) 原式 2)1 2)2 2)3 2)n (1 2)n ( 1)n. (2) 原式 x 1)n x 1)n 1( 1) x 1)n 2( 1)2 x 1)n k( 1)k ( 1)n ( x 1) ( 1) n 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 规律方法 本题是二项式定理的逆用 ， 需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构 ， 若对公式还不很熟悉 ， 可先把 x 1换元为 a， 再分析结构形式 ， 则变得简单些 数学 选修 2一章 计数原理 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 2 (1) 设 S ( x 1)4 4( x 1)3 6( x 1)2 4( x 1) 1 ，它等于 ( ) A ( x 2)4B ( x 1)4C ( x 1)4(2) 设 n N*，则