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数三角形的方法之我见数三角形的方法之我见杨杨林小学林小学 汪汪进华进华数三角形常常困扰很多学生,为了让学生更好地数三角形,本人通过不断的努力学习数三角形常常困扰很多学生,为了让学生更好地数三角形,本人通过不断的努力学习 和探索,最近,终于发现了一种数三角形的规律,能够很方便地把三角形的个数数出来。和探索,最近,终于发现了一种数三角形的规律,能够很方便地把三角形的个数数出来。 现在本人将探索的结果展现出来参考,如有不足之处希望行家多加指导。现在本人将探索的结果展现出来参考,如有不足之处希望行家多加指导。 本人是以人民出版社小学四年级数学中,一个数三角形的题型为说法,存在的规律如本人是以人民出版社小学四年级数学中,一个数三角形的题型为说法,存在的规律如 下:下:1 ( (图图一)只有一)只有 一个三角形,我把它看成一个三角形,我把它看成1的平方的平方。算式算式:1 1=1=1( 图一)图一)1 ( ( 图图二)二) 共有五个三角形。其中有四个小三角形是共有五个三角形。其中有四个小三角形是2的平方,加上的平方,加上( (图图一)正好是五个一)正好是五个。算式算式:1 1+2+2=5=53( 图二)图二) 1 ( (图图三)共有十三个三角形。其中有九个小三角形是三)共有十三个三角形。其中有九个小三角形是3的平方,减掉一(有的平方,减掉一(有 一个倒三角形不完整),再加上(一个倒三角形不完整),再加上(图图二二 )正好是十三个)正好是十三个。算式算式:1+2+(3-1)=1335 (图三)(图三)1( (图图四)共有二十七个三角形。其中有十六个小三角形是四)共有二十七个三角形。其中有十六个小三角形是4的平方,的平方,3 减掉二(有两个倒三角形不完整),再加上(减掉二(有两个倒三角形不完整),再加上(图图三)正好是三)正好是二十七个二十七个。 算式算式:1+2+(3-1)+(4-2)=2757(图四)(图四) 131 5 ( (图图五)五) 共有四十八个三角形。其中有二十五个小三角形是共有四十八个三角形。其中有二十五个小三角形是5的的 平方,减掉四(有四个倒三角形不完整),再加上(平方,减掉四(有四个倒三角形不完整),再加上(图图四)正好四)正好是四十八个。是四十八个。7 算式算式:1+2+(3-1)+(4-2)+(5-4)=485 7 9(图五)(图五) 1 ( ( 图图六)六) 共有七十八个三角形。其中有三十六个小三角形是共有七十八个三角形。其中有三十六个小三角形是6 的的 3 平方,减掉六(有六个倒三角形不完整),再加上(平方,减掉六(有六个倒三角形不完整),再加上(图图五)正好五)正好5 是七十八个。是七十八个。7 算式算式:1+2+(3-1)+(4-2)+(5-4)+(6-6)=789 11 1( 图六)图六) 从上面的规律分析可以看出,从上面的规律分析可以看出, (图一)和(图二)没有出现不完整的倒三角形,所以平(图一)和(图二)没有出现不完整的倒三角形,所以平 方不须要减任何数,也就是图形的一、二层不须要减任何数。图形的三层和四层分别出现方不须要减任何数,也就是图形的一、二层不须要减任何数。图形的三层和四层分别出现 了一个和两个不完整的倒三角形,所以平方就要减一,减二,不完整倒三角形都出现在底了一个和两个不完整的倒三角形,所以平方就要减一,减二,不完整倒三角形都出现在底 下一层。在图形的五层、六层分别发现有四个、六个不完整的倒三角形,所以平方就要减下一层。在图形的五层、六层分别发现有四个、六个不完整的倒三角形,所以平方就要减 4,减,减 6,这时不完整倒三角形出现了两层。由此可以推出:七层有九个不完整的倒三角形,这时不完整倒三角形出现了两层。由此可以推出:七层有九个不完整的倒三角形, 八层有十二个八层有十二个 ,不完整倒三角形有可能会出现三层,不完整倒三角形有可能会出现三层由此可以归纳出它的规律,一,二层由此可以归纳出它的规律,一,二层 分别为:分别为:0,0(个)(个) ;三,四层分别为:;三,四层分别为:1,2(个)(个) ;五,六层分别为;五,六层分别为 4,6(个)(个) ;七,八;七,八 层分别为:层分别为:9,12(个)(个) ;九,十层分别为:;九,十层分别为:16,20(个)(个)不完整的倒三角形。由此可以不完整的倒三角形。由此可以 写成写成:0*0,1*0(个)(个) ;1*1,2*1(个)(个);2*2,3*2(个)(个);3*3,4*3(个)(个) ;4*4,5*4(个)(个)不不 完整的倒三角形。所以不完整的倒三角形分为两种形式:完整的倒三角形。所以不完整的倒三角形分为两种形式:单数层单数层n(n+1)(4n-1)/6n(n+1)(4n-1)/6和双数和双数 层层n(n+1)n(n+1)(4n+5n4n+5n)/6/6 从以上的规律可以总结出数三角形的方法算式为:从以上的规律可以总结出数三角形的方法算式为: (1+2+3+4+5+6+7+8+m)-1+2*1+2+3*2+3+4*3+4+5*4+n+(n+1)*n( m1,m1,n0)0),由此推出:,由此推出: 1 1,3 3,5 5,7 7,99单数层公式(单数层公式(1 1)为:)为:m(m+1)(2m+1)/6-m(m+1)(2m+1)/6- n(n+1)(4n-1)/6n(n+1)(4n-1)/6,( m1,m1,n0);2,4,6,80);2,4,6,8双数层公式(双数层公式(2 2)为:)为:m(m+1)(2m+1)/6-m(m+1)(2m+1)/6- n(n+1)n(n+1)(4n+5n4n+5n)/6,/6, ( m1,m1,n0)0)。 当当 m=1m=1 时,时,n=0n=0 用公式(用公式(1 1) ,m=2m=2 时,时,n=0n=0 用公式用公式 (2 2) (没有不完整倒三角形)(没有不完整倒三角形), ,当当 m=3m=3 时,时,n=1n=1 用公式(用公式(1 1) ,当,当 m=4m=4 时,时,n=1n=1 用公式(用公式(2 2) (不完整倒三角形都出现在底下一层(不完整倒三角形都出现在底下一层)。135 791113 (图七)(图七)
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