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第 三 章一元函数的导数与微分 一、考核内容 1.知道导数,左导数,右导数的概念及它们之间的关系。知道导数的几何意义和物 理意义。知道函数可导和连续的关系。 2.熟记基本初等函数的导数公式,熟记导数的四则运算公式和复合函数求导公式, 掌握初等函数求导数的方法 3.知道高阶导数的概念,会求函数的二阶导数,会求某些函数的高阶导数。 4.会求函数的微分 5.知道边际函数和弹性函数的概念。二、基本概念,主要定理和公式。典型例题。 (一)导数的概念 用 表示变量 u 的初值, u 表示变量 u 的终值, 则符号叫变量 u 的增量或变 化量。若 y 与 x 之间有函数关系且 y=f(x),则 y0=f( )这时有仍旧表示 y 的改变量与 x 的改变量的比。定义一: 若极限存在 就说极限是函数 y=f(x)在点处的导数,记作即:函数 y=f(x)在点处的导数还可表示为典型例题例二:已知 g(x)在点 x=a 连续,f(x)=(x-a)g(x),求定义一:也可表示为下面形式定义二:例三:己知函数 f(x)在点的导数,求极限例三的结果可以作为公式使用。例四:已知,计算(二)基本初等函数导数公式和导数的四则运算公式定义:若极限存在,就说此极限是函数 y=f(x)的导数,记作。下面的结果是数学工作者根据导数的定义计算的结果,学员应熟记下面重要公式:以上 16 个结果,希望同学们能够通过做练习熟练掌握住,因为要用导数的定义求 得 16 个基本数的导数,比较麻烦,用了导数公式表,如果碰到是基本初等函数求导, 不用导数的定义,用导数公式表即可, 因此用导数的定义求导数,多数是分段函数或 者必须用导数定义求导数的情况。典型例题 例一:填空幂函数的写法:下面第二节 导数的四则运算公式与极限的四则运算公式有区别, 我们不加推导地用定义的形式 介绍如下: 定理:若函数 u(x)与 v(x)都有导数,则如果两个函数中,其中有一个是常数,根据乘法公式:两项和,第一项是第一个函 数的导数乘以第二个函数,第二项是第一个函数乘以第二个函数的导数,由于常数的导 数等于零,常数乘以该函数的导数就为零,所以,如果一个系数乘以一个函数求导数, 系数照常写,只要求该函数的导数即可。例二:求下列函数的导数以后,我们也将函数 f(x)在点 x=a 处的导数称为导数在点 x=a 处的值,简称函 数 f(x)在 x=a 处的导数(值)。例三:已知 解:因为是导数在 x=1 处的值,所以,第一步先求导数第二步,再求导数在 x=1 处的值 =2+1=3 今后,若函数 f(x)在点 的导数值存在,就说函数 f(x)在点 可导;反之,若函 数 f(x)在点 导数值不存在,就说函数 f(x)在点 不可导。 一个函数 f(x)在某一点 可导与该点 连续有下面的关系:证:因为 f(x)在 x= 可导请学员注意,本定理只说明函数 f(x)在某一点可导,则在该点一定连续,即可导是 连续的充分条件,反过来未必正确,我们可以举一个例子说明函数 f(x)在一点连续,在 该点未必可导,请看:关于导数,左导数,右导数有下面关系:用定义求函数 f(x)的左右导数是很不方便,但是在特殊情况下可以比较方便的求函 数的左导数和右导数上面的定理说明, f(x)的左导数值等于 f(x)在点的左函数的导 数值;右导数值等于 f(x)的右函数在点的导数值。典型例题证:()()f(a)=0 f(x)在 x=a 连续本例再一次说明连续函数不一定可导(三)导数的几何意义和物理意义 (1)导数的几何意义 若曲线 y=f(x)在其上一点处有切线(见下图), 则可证明切线的斜率 K 与函数 f(x)在点处的导数值相等。即因而有曲线在点处的切线方程为,其中 曲线在点处的法线方程为例一:(1)求曲线(2)求曲线的平行于直线的切线方程。 解:先求切点,因为直线的斜率就是 x 的系数,所以的斜率为 4。 由 于的切线与直线平行,所以切线的斜率与直线的斜率相 等,得,解得。 当时,这时的切线为; 当时,这时的切线为下面第三节 例二:(1)己知在点(-1,0)相切,求 a,b,c. 解:切点()是曲线上的点,代入曲线方程,(i) ()两曲线在(-1,0)相切,它们在点(-1,0)的切线斜率相等,即3+a=-2b 解得 a=-1,b=-1,c=1 (2)巳知 解:设切点为(),所以切点处两曲线的斜率相同,得ln2a=-1(2)导数的力学意义 若质点在直线上的运动路程 s 与时间 t 的关系为 s=s(t),则该质点的运动速度为:例三: 质点在直线上的运动方程为, 求质点的速度及在时刻 t=2 的瞬时速 度:(四)复合函数的导数公式和对数求导法。 (1)复合函数的导数公式 下面,我们不加推导的介绍复合函数的导数公式:上面的公式叫链导公式,其中典型例题解:先写出复合过程, 解:先写出复合过程,在经过多次练习对链导公式掌握熟练以后,复合过程可以记在心里而不必写出, 直 接用链导公式写出结果。今后,我们用表示函数表示 。 (解一):先写出复合过程,(解二)直接用链导公式求导(解一)先写出复合过程(解二)直接用链导公式求导 如果复合函数由三个可导函数复合而成,链导公式可以推广为:(解一)先写出复合过程(解二)直接用链导公式解:直接用链导公式当函数 y=f(x)中同时既有四则运算又有复合运算,而且四则运算在外层时,应先进 行四则运算。例十四:求: 解:形为的函数叫幂指函数,它可以转化为指数函数为下:(2)先取对数后求导数的方法,故称对数求导法。 在求复合函数的导数时,有下面结果:解:先将上式取对数,然后化简得:然后将上两边对 x 求导数将上式两边都对 X 求导数高阶导数 定义:,叫 y 的二阶导数; ,叫 y 的三阶导数; ,叫 y 的四阶导数;,叫 y 的五阶导数; , 叫 y 的 n 阶导数。 要求学员会用高阶导数的定义求一些简单情形下的 n 阶导数。例一:,求 y 的各阶导数,因为次数最高为 10,所以所有高于 10 的函数的导数都为零。下面第五节上面的结果,可以归纳为下面的分式:例七填空 _ _ _ _ _解:7!, 0,、5!、,例八:求下列函数的二阶导数例九:已知函数 y=f(x)的八阶导数,求它的十阶导数例十:验算,满足方程:(五)微分 (1)在介绍导数的定义时,我们把符号X 叫 X 的增加量,当X0 时,就说 X 是 X 的微小增加量,这时也可将X 记作 dx,而 dx 是 X 的微小增加量。 下面我们把 dx 叫函数 y=f(x)的微分,记作 dy,即 y 的微分等于 y 的导数乘 X 的 微小增加量 dx,即:,dx 也叫 x 的微分 由微分定义知道:y 的导数也可以理解为 y 的微分 dy 与 x 的微分 dx 的商,因此也叫微商。同样地,我们将 y 在 x 处的导数乘以 X 的微分 dx 叫函数 y 在点处的微分,记作:(2)近似计算公式 可以证明,y 的增加量yy-y0与 y 在点处的微分,当x0 时,近似相等,即:x很小时,或x很小时,即:|x|很小时,我们用x1 很小时,表示X 很小 则有:x1 时, 或:x1 时, x1 时, 特别情形:时,有: x1 时,例一证明:x1 时, 证:令|x|1, 将x 用文字 X 替换得 x1 时,例二证明|x|1 时,当|x|1 时,|x|1 时,用 X 替代X 得:|x|1 时,例三:证明:|x|1 时,例四:证明上面的结果总结一下,在近似计算中可以作为公式使用。下面是第六节 典型例题:例二:填空 ln1.01 解:例三:求的近似值。 x 很小的时候,sinx=x,x 的单位:弧度注意:在近似计算公式 Sinx 中,X 的角度必须用弧度。例四:求的近似值经济名词介绍: (1)在经济学当中常用: C 表示产品的总成本; R 表示产品的收入; L 表示产品的利润; Q 或 X 表示产量; D 表示产品的需求量或销售量,在产销平衡时 D 和 Q 相同,可不加区别; P 表示产品每单位的售价,商品价格,它们的关系为:LRC,RPQ。 (2)微积分学的导数在经济中叫边际,边际就是导数,导数就是边际。 若成本是产量的函数 C=C(Q),则收入对产量的导数叫边际成本,记作 MC, 即 MC=; 若收入是产量的函数 RR(Q),则收入对产量的导数叫边际收入,记作 MR, 即 MR=; 同样,利润 L 对产量 Q 的导数叫做边际利润,记作 ML,即 ML=。(3)若产品的供给量 S 是价格 P 的函数,则叫产量的供给弹性,记作 ES/EP,即若产品的需求量 D 是价格 P 的函数 D=D(P),则叫产品的需求弹性,记作ED/EP,即 需求弹性在等号右边添负号,是因为需求量 D 是价格的减函数,添负 号后可是 ED/EP0。 需求弹性 ED/EP 的经济意义是:当价格 P 增加 1%时,需求量减少 ED/EP%典型例题 例一:例二:已知产品的供给量 s=100+0.02P2,求供给弹性及价格p=10时的供给弹性值。例三:已知产品的需求量 D=1000-2P,求产品的需求弹性,并计算 (1)P200 时的弹性和 P=200 时的收入,说明它的经济意义; (2)P250 时的弹性和 P=250 时的收入,说明它的经济意义; (3)P300 时的弹性和 P=300 时的收入,说明它的经济意义。(1)它说明价格 p 增加 1时,售量 D 减少 当 P200 时,售量 D1000-400600收入 RPD200600120000(2)P250 时它说明价格 P 增加 1时,售量减少 1 当 P250 时,售量 D500 收入 RDP500250125000(3)P300 时,它说明价格增加 1时,售量减少(3/2)% 当 P300 时,售量 D400 收入 RPD300400120000 由本例可见,价格过高过低收入都低,只有需求弹性为 1 时的收入最高。例四:证明(1)即这时价格增加会使收入增加。(2),即这时价格增加反而会使收入减少。(3)是驻点而且是极大值点。因为只有一个极大值,所以 ED/EP1 是最大值点,即 ED/EP1 时,收入最多。三、同步练习题(2) 若g (x) 在x1处不可导, 但在x1处有极限且(5)求曲线 ylnx 在点 xe 的切线和法线方程。 (6)在曲线上求一点,使过该点的切线与直线 y5x1 平行,并求出 该切线方程。 (7)已知相切,求 a,并写出切线方程。 (8)质点的运动方程为,求时刻 t2 时的速度。;ln0.98(36)填空 则 则 答案:(三)同步练习题答案切线与直线 y=5x+1 平行,所以它的斜率相同,由于 y=5x+1 的斜率为 5,所以 切线的斜率也是 5,得:(7)设切点为() ()() 在切点处它们的斜率相等。代入上式得:
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