比根号 2 更“无理”的数大家中学时就学过，根号2 是一个无理数，它不能表示成两个整数之比，是一个看上去毫无规律的无限不循环小数。早在古希腊时代， 人们就发现了这种奇怪的数，这推翻了古希腊数学中的基本假设，直接导致了第一次数学危机。事实上，根号2 只是最普通的无理数。在无理数大家庭中，还有很多比根号2 更诡异的数。（注：从历史角度来看，把“ 无理数 ” 理解成 “ 无理的数 ” 其实是一种错误的做法。中国最初对irrational number 的翻译是不对的， irrational 这个单词本应该取“ 不可比的 ” 之义）代数数与超越数根号 2 虽然是无理数，不过也不是那么没规律了。它是方程x 2 - 2 = 0 的其中一个解。如果某个数能成为一个整系数多项式方程（a n x n+ + a 1 x + a 0 = 0）的解，我们就把它叫做 “ 代数数 ” （algebraic number ）。那些用根号表示出来的无理数，全都是代数数。不是代数数的实数统统被称为“ 超越数 ” （transcendental number ），它不满足任何一个整系数多项式方程。超越数无疑是更“ 怪” 的数，是否存在这样的数在数学史上早有争论。 1844 年，法国数学家柳维尔（ Joseph Liouville ）构造了第一个超越数 柳维尔数（ Liouville number ）。这个数是0.110001000000000000000001 ，其中小数点后面第1，2，6，24，120，. 位是 1，其余位都是0。柳维尔证明了这个数是一个超越数，它不满足任何整系数多项式方程。1873 年，法国数学家夏尔 埃尔米特（ Charles Hermite ）证明了自然底数e 是一个超越数。 1882 年，德国数学家林德曼（ Ferdinand von Lindemann）证明了圆周率 是一个超越数。但是，人们对超越数的了解还是太少。 至今数学家们仍然不知道， + e 、 - e、e、/e 是否是超越数。虽然如此，大家还是普遍相信它们都是超越数，毕竟它们不大可能恰好满足一个各项系数都是整数的多项式方程。可计算数与不可计算数圆周率的小数展开看上去似乎是完全随机的，但毕竟是有办法算出来的。 如果你想知道 的小数点后第一亿位是多少，我总能在有限的时间里算出答案来。1975 年，计算机科学家格里高里 蔡廷（Gregory Chaitin ）研究了一个很有趣的问题：任意指定一种编程语言中， 随机输入一段代码， 这段代码能成功运行并且会在有限时间里终止 （不会无限运行下去） 的概率是多大。 他把这个概率值命名为了“ 蔡廷常数 ” （Chaitins constant ）。这听起来有点不可思议，但事实上确实如此蔡廷常数是一个不可计算数（uncomputable number ）。也就是说，虽然蔡廷常数是一个确定的数字，但现已在理论上证明了，你是永远无法求出它来的。可定义数与不可定义数尽管蔡廷常数算不出来， 不过我们却知道蔡廷常数是什么。 它有一个明确的定义。但是，并不是所有的数都能够用有限的文字描述出来的。原因很简单， 因为长度有限的文字段落是可以逐一枚举的 （虽然有无穷多）， 而全体实数是不能枚举的，因此总存在一些不可能用语言描述出来的数。这种数就叫做不可定义数（undefinable number ）。自然数也好，有理数也好，根号2 也好，圆周率也好，蔡廷常数也好，它们都有明确的定义， 都属于可定义数的范畴。 事实上，整个人类历史上所有文献提到过的所有实数都是可定义的， 因为它们都已经被我们描述出来了。但是，由于可定义数与全体实数的数量根本不在一个级别上，不可定义的数远远多于可定义的数。那么，谁发现了第一个不可定义数呢？答案是，从没有人发现过不可定义的数，以后也不会有人找到不可定义的数。因为不可定义数是无法用语言描述的，我们只能用非构造的方式证明不可定义数的存在性，但却永远没法找出一个具体例子来。好在，虽然有那么多数是没有办法描述的，但数学家们也不会损失什么。每一个值得研究的数一定都有着优雅漂亮的性质，这些性质就已经让它成为了能够被定义出来的数。