数 学 新课标 （ 第 23讲 圆的有关性质 第 23讲 圆的有关性质 考点 1 圆的有关概念 考点自主梳理与热身反馈 1 下列说法： 弦是直径； 半径相等的圆是等圆； 长度相等的弧是等弧； 半圆是弧 ， 但弧不一定是半圆； 半径相等的两个半圆是等弧其中正确的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 C 解析 正确 第 23讲 圆的有关性质 2 过 圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 无数 3 矩形的四个顶点到 _ _ _ _ _ _ _ 的距离相等 ， 因此 ，矩形的四个顶点在以 _ _ 为圆心 ， 以 _ _ _ _ _为半径的圆上 A 对角线的交点 对角线的交点 对角线长的一半 第 23讲 圆的有关性质 【 归纳总结 】 1 _ _ _ _ _ _ _ _ 确定圆的位置 ， _ _ _ _ _ _ _ _ 确定圆的大小 2 等弧必须是 _ _ _ _ _ _ _ _ 或 _ _ _ _ _ _ _ _ 中的弧 ， 弧长相等的弧不一定是等弧 3 直径是 _ _ _ _ _ _ _ _ ， 但弦不一定是直径 4 半圆是 _ _ _ _ _ _ _ _ ， 但弧不一定是半 圆 5 圆心角的顶点是 _ _ _ _ _ _ _ _ ， 圆周角的顶点在_ _ _ _ _ _ _ _ 上 圆心 半径 等圆 同圆 弦 弧 圆心 圆周 第 23讲 圆的有关性质 考点 2 圆的轴对称性 1 如图 23 1 ， O 的直径 ， 弦 点 E ，则下列结论： 其中一定正确的有 ( ) 图 23 1 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 B 第 23讲 圆的有关性质 2 2013 温州 如图 23 2 ， 在 O 中 ， 弦 点 C ， 4 ， 1 ， 则 长是 ( ) 图 23 2 A. 3 B. 5 C. 15 D . 17 B 第 23讲 圆的有关性质 3 如图 23 3 是石拱桥的示意图 ， 桥顶到水面的距离 8 m ， 桥拱半径 5 m ， 则水面宽 ( ) 图 23 3 A 4 m B 5 m C 6 m D 8 m D 第 23讲 圆的有关性质 【 归纳总结 】 圆是 _ _ _ _ _ _ _ _ 对称图形 ， 在圆中： 过圆心； _ _ _ _ _ _ _ _弦 ( 非直径 ) ； _ _ _ _ _ _ _ _ 于弦； 平分弦所对的劣弧； 平分弦所对的优弧 若一条直线具备这五项中的任意两项 ， 则必得出另外三项 轴 平分 垂直 第 23讲 圆的有关性质 考点 3 圆的旋转不变性 1 在 O 与 O 中 ， 若 A O B A O B ， 则有 ( ) A . A B B . A B C . A B D . A B 的大小关系无法确定 D 第 23讲 圆的有关性质 2 已知：如图 23 4 ， O 的直径 ， C ， D 是弧 若 A O E 60 ， 则 C O E 的度数是 ( ) 图 23 4 A 40 B 60 C 80 D 1 2 0 C 第 23讲 圆的有关性质 【 归纳总结 】 在同圆或等圆中 ， 圆心角相等 弧 _ _ _ _ _ _ _ _ 弦相等 弦心距 _ _ _ _ _ _ _ _ 相等 相等 第 23讲 圆的有关性质 考点 4 圆周角定理 1 如图 23 5 ， 点 A ， B ， C 在 O 上 ， 若 B O C 1 4 0 ，则 B A C 等于 ( ) 图 23 5 A 60 B 70 C 120 D 1 4 0 B 第 23讲 圆的有关性质 2 如图 23 6 ， O 的直径 ， 若 B A C 35 ，则 A D C ( ) 图 23 6 A 35 B 55 C 70 D 1 1 0 B 第 23讲 圆的有关性质 【 归纳总结 】 1 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 _ _ _ _ _ _ _ _ 2 推论： ( 1 ) 同弧或等弧所对的圆周角 _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 _ _ _ _ _ _ _ _ ， 90 的圆周角所对的弦是 _ _ _ _ _ _ _ _ 一半 相等 直角 直径 第 23讲 圆的有关性质 【 知识树 】 第 23讲 圆的有关性质 考向互动探究与方法归纳 探究一 利用垂径定理计算 例 1 某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架( 如图 23 7) ， 若不计木条的厚度 ， 其俯视图如图 23 8 所示 ， 已知 直平分 A D 4 8 则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 _ _ _ _ _ _ _ _ c m . 图 23 7 图 23 8 30 第 23讲 圆的有关性质 解析 如图 ， 过 A ， B ， C 三点的 O 就是圆柱形饮水桶的底面半径取最大值时的情况 ， 则圆心 O 在 设 O 的半径为 x ， 则 x ， 48 x ， 12 2 4 . 在 O D C 中 ， 由勾股定理 ， 得 即 ( 4 8 x )2 242， 解得 x 3 0 . 第 23讲 圆的有关性质 中考点金 利用垂径定理解题时 ， 作过圆心的直线或线段构造直角三角形是解题的关键 第 23讲 圆的有关性质 变式题 2014 黔东南州 如图 23 9 ， 已知 O 的直径直于弦 垂足为 E ， A C D 2 2 . 5 ， 若 6 则 长为 ( ) 图 23 9 A 4 c m B 3 2 c m C 2 3 c m D 2 6 c m B 第 23讲 圆的有关性质 探究二 圆心角和圆周角的综合计算 例 2 2013 黔西南州 如图 23 10 所示 ， 在 O 中 ，若 B A C C D A 20 ， 则 A B O 的度数为 _ _ _ _ _ _ _ _ 图 23 10 50 解析 连接 由题意 ， 得 A O B 2 ( A D C B A C ) 80 . 都是半径 ) ， A B O O A B ( 1 8 0 A O B ) 2 50 . 第 23讲 圆的有关性质 中考点金 在探索两角的关系时 ， 从图形上看 ， 它们是圆周角 ，“ 由角找弧 ” ， 看它们各对应哪段弧 ， 再 “ 由弧找角 ” ， 找到这两段弧所对的圆心角或其他圆周角 ， 看这些角有什么关系 这种 “ 由角找弧 ”“ 由弧找角 ” 的方法是圆中求角相等或弧相等的常用方法 第 23讲 圆的有关性质 变式题 如图 23 11 ， 在 O 中 ， 直径 ， 弦 ， ( 1 ) 已知 P 是 一点 ( 不与点 C ， D 重合 ) ， 求证： C C O B ； ( 2 ) 当点 P 在劣弧 ( 不与点 C ， D 重合 ) 时 ， C O B 有什么数量关系？请证明你的结论 图 23 11 第 23讲 圆的有关性质 解： ( 1 ) 证明：连接 直径 ， C O B D O B 12 C O D . C 12 C O D ， C C O B . ( 2 ) D 与 C O B 的数量关系是 D C O B 1 8 0 . 证明： C D 1 8 0 ， C O B C D C O B 1 8 0 . 第 23讲 圆的有关性质 考题自主训练与名师预测 1 如图 23 12 ， 若 C ， D 为半圆的三等分点 ， 则下列说法正确的有 ( ) A O D B O C ； A O D 沿 折与 C O D 重合 图 23 12 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 A 第 23讲 圆的有关性质 2 2014 珠海 如图 23 13 ， 线段 O 的直径 ，弦 C A B 20 ， 则 A O D 等于 ( ) 图 23 13 A 1 6 0 B 150 C 1 4 0 D 1 2 0 C 第 23讲 圆的有关性质 3 2013 厦门 如图 23 14 ， 在 O 中 ， A