中考全程总复习陕西 数学 中考考点 讲练 中考全程总复习陕西 数学 存在性问题是指判断满足某种条件的点或图形是否存在的问题 ， 这类问题的知识覆盖面较广 ， 综合性较强 ， 构思精巧 ， 方法灵活 ， 对学生分析问题和解决问题的能力要求较高 ， 是近年来中考的 “ 热点 ” 存在性问题形式多样 ， 包括特征点 、 特殊三角形 、 特殊四边形 、 全等或相似三角形存在问题等等 这些问题还常常涉及图形形状的判定和最值探索问题 1 存在性问题的探究 中考全程总复习陕西 数学 存在性问题解法的一般思路是：假设存在 推理论证 得出结论 若能导出合理的结果 ， 就做出 “ 存在 ” 的判断 ，导出矛盾 ， 就做出不存在的判断 中考全程总复习陕西 数学 【例】 (2015 金华改编 ) 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴上， B ， C 两点在 x 轴上且关于原点对称， 面积为 4 等腰直角三角形，点 F 在 长线上，且 6 2 ，点 E 在 x 轴正半轴上， 中考全程总复习陕西 数学 (1)求点 (2)连接 试判断 并说明理由； (3)过 ， 将一足够大的三角板的直角顶点 一直角边始终过点 E， 另一直角边与 ， 是否存在这样的点 Q， 使以点 P，Q， 若存在 ， 求出点 不存在 ， 请说明理由 中考全程总复习陕西 数学 【 思路点拨 】 本题考查等腰直角三角形的性质 ， 全等三角形 ， 相似三角形的判定与性质 ， 对分类讨论也有较高要求： (1)利用等腰直角三角形性质求出 从而得出结论； (2)利用勾股定理和等腰三角形的判定方法求解； (3)存在性问题 ， 分点 在射线 中考全程总复习陕西 数学 【解答】 (1) 等腰直角三角形， 12 又 面积12 4 ，即 4 ， 2. 2. 2 2 6 2 8 2 ， 在等腰直角三角形 ， BF 8 ， 8 2 6. F (6,8) ； 中考全程总复习陕西 数学 (2) 等腰三角形理由如下：如图 1 ， 8 4 4 ， 2 4 4 10 ， 在 ， 2 4 6 ， 8 ， 62 82 10 ， 即 等腰三角形； 中考全程总复习陕西 数学 (3) 存在点 Q 的位置分两种情形： 情形一：点 Q 在射线 ， 当点 P 在 x 轴上方时，如图 2. 10. 在 ， 102 42 2 21 ， Q (6,2 21 ) 当点 P 在 下方时，如图 3 ，有 10 ， 过 P 点作 点 K ，则有 6. 中考全程总复习陕西 数学 在 ， 102 62 8 ， 90 ， 90 . 90 ， 又 90 ， 64，解得 3. Q (6,3) 情形二：点 Q 在射线 ， 当 10 时， 如图 4 ，有 中考全程总复习陕西 数学 当 x 10 时， y x 2 12 ， Q (10,12) 当 10 时，如图 5. 过 Q 作 y 轴于点 M ， 过 E 点作 x 轴的垂线交 点 N ， 设 Q 的坐标为 ( x ， x 2) ， x ， 10 x ， x 2. 在 ，有 即 102 (10 x )2 ( x 2)2，解得 x 4 14 . 当 x 4 14 时，如图 5 ， y x 2 6 14 ， Q (4 14 ， 6 14 ) 中考全程总复习陕西 数学 当 x 4 14 时，如图 6 ， y x 2 6 14 ， (4 14 ， 6 14 ) 综上所述，存在点 Q (6,2 21 ) 或 (6,3) 或 (10,12) 或 (4 14 ， 6 14 ) 或 (4 14 ， 6 14 ) ，使以 P ， Q ， E 三点为顶点的三角形与 等 中考全程总复习陕西 数学 此类压轴题涉及线段的比值计算 ， 三角形 、 特殊四边形 、 圆等图形的面积分割或计算 ， 按照陕西中考压轴题 “ 起点低 ， 落点高 ， 尾巴高跷 ” 的命题导向 ， 一般由易到难设置多个问题 ， 入手容易深入难 ， 解答时需要综合运用数形结合 ， 待定系数 ， 方程转化 ， 变量代换等多种思维技巧 ， 对问题系统分析 ， 灵活转化 2 图形分割问题 中考全程总复习陕西 数学 【 例 】 问题探究 (1)请你在图 1中做一条直线 ， 使它将矩形 (2)如图 2点 请你在图 2中过点 使它将矩形 中考全程总复习陕西 数学 问题解决 (3)如图 3， 在平面直角坐标系中 ， 直角梯形 其中 B 6， 4， 开发区综合服务管理委员会 (其占地面积不计 )设在点 P(4,2)处 为了方便驻区单位准备过点 路宽不计 )， 并且是这条路所在的直线 你认为直线 若存在求出直线 不存在 ， 请说明理由 中考全程总复习陕西 数学 【思路点拨】 本题考查数 形结合，待定系数，方程转化，变量代换等思维技巧 (1) 利用中心对称图形的性质，任意过矩形对称中心的直线即为所求； (2) 沿 (1) 的思路找到矩形的对称中心 P ，点 M 和 P 两点确定一条直线即为所求； (3)过点 D 作 点 A ，发现点 P (4,2) 为矩形 对称中心，过点 P 的任意直线一定平分矩形 欲平分直角梯形 积，只要平分 面积即可，设平分梯形 D 面积的直线 F ，待定系数法设出 析式，表示出 H ， F 坐标，利用 S 12S 中考全程总复习陕西 数学 【解答】 (1) 如答图 1 ； (2) 如答图 2 ，连接 于点 P ，则 P 为矩形对称中心作直线 直线 为所求； 中考全程总复习陕西 数学 (3)如答图 3， 存在直线 l. 过点 A ， 则点 P(4,2)为矩形 过点 易知 ， 在 使得 从而 ， 直线 即直线 l， 中考全程总复习陕西 数学 设直线 表达式为 y b 且过点 P (4 ,2) ， 2 4 k b 即 b 2 4 k ， y 2 4 k 直线 表达式为 y 2 x ， y 2 4 k ，y 2 x ，解得x 2 4 k，y 4 8 k. 点 H 的坐标为 (2 4 k，4 8 k) 中考全程总复习陕西 数学 线段 交点 F (2,2 2 k ) ， 0 2 2 k 4 ， 1 k 1. S D 2(4 2 2 k ) (2 2 4 k) 1212 2 4 ， 解之，得 k 13 32( k 13 32舍去 ) ， b 8 2 13 ， 直线 l 的表达式为 y 13 32x 8 2 3 . 中考全程总复习陕西 数学 此类压轴题多以探究三角形或四边形面积的最值为主 最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和转化 ， 解最值类压轴题常用的方法是建立函数模型利用增减性 ， 数形结合利用对称性 ， 寻找极端位置利用特殊点等方法解决问题 3 最值问题 中考全程总复习陕西 数学 【 例 】 (2015永州 )问题探究： (一 )新知学习： 圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补 ， 那么这个四边形内接于圆 (即如果四边形 那么四边形 、 F、 G、 中考全程总复习陕西 数学 ( 二 ) 问题解决： 已知 O 的半径为 2 ， O 的直径 P 是 任意一点，过点 P 分别作 垂线，垂足分别为 N ， M . (1) 若直径 对于 任意一点 P ( 不与 B 、 C 重合 )( 如图 1) ，证明四边形 接于圆，并求此圆直径的长； (2) 若直径 在点 P ( 不与 B 、C 重合 ) 从 B 运动到 C 的过程汇总，证明 求其定值； 中考全程总复习陕西 数学 (3) 若直径 交成 120 角 当点 P 运动到 中点 P 1 时 ( 如图 2) ，求 长； 当点 P ( 不与 B 、 C 重合 ) 从 B 运动到 C 的 过程中 ( 如图3) ，证明 长为定值 (4) 试问当直径 交成