专题五 二次函数的综合探究 (针对陕西中考 24题 ) 第二部分 专题综合强化 中考全程总复习陕西 数学 中考考点 讲练 中考全程总复习陕西 数学 二次函数与三角形相似的综合题 ， 可以结合几何图形来解题 ， 充分利用图象上点的坐标就表示相关线段的长度几何意义 ， 实现从 “ 数或式 ” 到 “ 形 ” 的转化 ， 在解题中充分运用函数与方程 、 数形结合 、 分类讨论等思想方法 1 二次函数与相似三角形 中考全程总复习陕西 数学 有关函数与相似三角形的问题一般有三个解决途径： (1)求相似三角形的第三个顶点时 ， 先要分析已知三角形的边和角的特点 ， 进而得出已知三角形是否为特殊三角形 根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论； (2)利用已知三角形中对应角 ， 在未知三角形中利用勾股定理 、 三角函数 、 对称 、 旋转等知识来推导边的大小； (3)若两个三角形的各边均未给出 ， 则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度 ， 之后利用相似来列方程求解 中考全程总复习陕西 数学 【 例 】 如图 ， 在平面直角坐标系 顶点为 y bx(a 0)， 经过点 A和 ，2， 120 . (1)求这条抛物线的表达式； (2)连接 求 (3)如果点 C在 且 求点 中考全程总复习陕西 数学 【 思路点拨 】 (1)根据 2， 120 ，求出 以及 进而利用待定系数法求二次函数解析式； (2)根据 (1)中解析式求出 再利用锐角三角函数关系求出 30 ， 进而得出答案； (3)分析得 150 ， 分别根据当 利用相似三角形对应边成比例列方程 ， 求出 中考全程总复习陕西 数学 【解答】 (1) 过点 A 作 y 轴于点 E ， 2 ， 120 ， 30 ， 1 ， 3 ， A 点坐标为 ( 1 ， 3 ) ， B 点坐标为 (2,0) ，将两点代入 y ： a b 3 ，4 a 2 b 0 ，解得：a 33，b 2 33， 抛物线的表达式为： y 33 33x ； 中考全程总复习陕西 数学 (2) 过点 M 作 点 F ， y 33 33x 33( 2 x ) 33( 2 x 1 1) 33( x 1)233， M 点坐标为： (1 ，33) ， 33133， 30 ， 30 120 150 ； 中考全程总复习陕西 数学 (3) 2 ， 120 ， 30 ， 2 2 3 ， 150 所以 150 ， 若 似，那么点 C 在只能在点 B 右边，如上图，分两种情况： ( ) 当 1 33， 22 32 33 解得： 2 ， 4 ， 4,0) ； 中考全程总复习陕西 数学 ( ) 当 C 2 22 32 33，解得： 6 ， 8. C 2 的坐标为： (8,0) 综上所述， 似时，点 C 的坐标为 (4,0)或 (8,0) 中考全程总复习陕西 数学 陕西中考中关于二次函数与图形的面积的综合题涉及图形的平移变换 、 动点问题等 ， 通常是在坐标系背景下 ， 利用抛物线上的点构造成三角形 、 四边形 ， 然后探究几何图形的面积或周长最值 解题时要充分利用二次函数的图象和性质 ， 函数在自变量取值范围内的增减性 ， 挖掘图形的几何意义 2 二次函数与图形的周长或面积 中考全程总复习陕西 数学 因动点产生的最值问题一般都归于两类基本模型： (1)函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性确定某范围内函数的最大或最小值 (2)几何模型：这类模型又分为两种情况： 归于 “ 两点之间的连线中线段最短 ” 凡属于求 “ 变动的两线段之和的最小值 ” 时大都应用这一模型 归于 “ 三角形两边之差小于第三边 ” 凡属于求 “ 变动的两线段之差的最大值 ” 时大都应用这一模型 中考全程总复习陕西 数学 【例】 ( 名师特约题 ) 如图，已知抛物线 y 2x c与 x 轴相交于 A 、 B 两点，并与直线 y 12x 2 交于 B 、 C 两点，其中点 C 是直线 y 12x 2 与 y 轴的交点，连接 中考全程总复习陕西 数学 (1)求抛物线的解析式； (2)证明： (3) (顶点D、 E、 F、 若能 ， 求出最大面积；若不能 ， 请说明理由 中考全程总复习陕西 数学 【思路点拨】 (1) 由直线 y 12x 2 交 x 轴、 y 轴于 B 、 B 、 C 坐标可求进而代入抛物线 y 2x c ，即得 a 、 c 的值，从而知抛物线解析式 (2) 求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为 90 或勾股定理本题中未提及特殊角度 ，而已知 A 、 B 、 C 坐标，即可知 则显然可用勾股定理证明 中考全程总复习陕西 数学 (3)在直角三角形中截出矩形 ， 面积最大 ， 我们易得两种情形 ， 一点为 C， 讨论时可设矩形一边长 x，利用三角形相似等性质表示另一边 ， 进而描述面积函数 利用二次函数最值性质可求得最大面积 中考全程总复习陕西 数学 【解答】 (1) 直线 y 12x 2 交 x 轴、 y 轴于 B 、 C 两点， B (4,0) ， C (0 ， 2) ， y 2x c 过 B 、 C 两点， 0 16 a 6 c ， 2 c ，解得a 12，c 2. y 122x 2 ； 中考全程总复习陕西 数学 (2) 证明：如图 1 ，连接 y 122x 2 与 x 负半轴交于 A 点， A ( 1, 0) ， 在 ， 1 ， 2 ， 5 ， 在 ， 4 ， 2 ， 2 5 ， 1 4 5 ， 直角三角形； 中考全程总复习陕西 数学 (3) 部可截出面积最大的矩形 面积为52，理由如下： 一点为 C ， 上各有一点，如图 2 ，此时 F 设 x ， 5 x ， 5 ， 2 5 2 x ， S x (2 5 2 x ) 2 2 5 x 2( x 52)252，即当 x 52时， S 最大为52. 中考全程总复习陕西 数学 上有两点， 上各有一点，如图 3 ，此时 设 x ， ， 52x ， 5 52x ， 5 52 5 52x ， 中考全程总复习陕西 数学 S x (5 52x ) 525 x 52( x 1)252，即 x 1 时， S 最大为52. 综上所述， 部可截出面积最大的矩形 G ，面积为52. 中考全程总复习陕西 数学 二次函数与特殊图形的判定是陕西二次函数综合题的热点 ， 涉及到的图形有等腰三角形 、 等边三角形 、 平行四边形 、 矩形 、 菱形 、 正方形等 ， 此类题以探究特殊图形存在性问题的形式出现 ， 解题时一般先假定特殊图形存在 ， 再通过分析 、 归纳 、 证明 ， 得出结论 若存在 ， 可利用特殊图形的性质求解；若不存在给出证明过程 ， 说明不存在的理由 ， 从而解决问题 3 二次函数与特殊图形的判定 中考全程总复习陕西 数学 【例】 二次函数 y c 的图象经过点 ( 1 ，4) ，且与直线 y 12x 1 相交于 A 、 B 两点 ( 如图 ) ， A 点在 y 轴上，过点 B 作 x 轴，垂足为点 C ( 3,0) 中考全程总复习陕西 数学 (1)求二次函数的表达式； (2)点 点 ， 过 垂足为点 P， 交 ， 求 (3)在 (2)的条件下 ， 是否存在点 N， 使得四边形 如果存在请求出 否则 ， 请说明理由 【 思路点拨 】 (1)首先求得 A、 然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； (2)设 则根据 所在函数的解析式 ， 即可利用 、 利用 利用二次函数的性质求解；(3)四边形 则 据此即可列方程 ， 求得 从而得到 中考全程总复习陕西 数学 【解答】 ( 1) 由题设可知 A ( 0,1 ) ， B ( 3 ，52) ， 根据题意得：c 1 ，9 a 3 b c 52，a b c 4 ，解得：a 54，b 174