中中 原原 工工 学学 院院20042005 学年学年 第第 一一 学期学期工科工科 专业专业 线性代数线性代数 课程期末试卷课程期末试卷题号题号一一二二三三四四五五六六七七八八九九十十总分总分一、填空题1设，则。1 1；21000 12100 0120000021 00012nD L L L LLLLLL L L_nD 1nDn2 设，则。. 2101 020 101A 1092_AA1092AAO3若向量组，线性相关，则。11,1,0 21,3, 1 35,3,t _t ；1t 4若阶方阵的各列元素之和为，则必有一个特征值。4nAaA_；a5已知二次型为正定二次型，则222 1231231213,2122f x x xxxk xkx xx x的取值范围为_。5k10k 二、选择题 1设为阶可逆矩阵，是的伴随矩阵，则 1 C ；An2n *AA(A) ；(B) ； *1*nAAA *1*nAAA(C) ； (D) 。 *2*nAAA *2*nAAA2设都是阶非零方阵，且，则和的秩 2 B ；,A BnABOAB(A) 必有一个等于零；(B) 都小于；(C) 一个小于；一个等于； (D) 都等于。nnnn3设有向量组，11, 1,0,0 ，则该向量组21,2,1, 1 30,1,1, 1 41,3,2,1 52,6,4,1 的最大线性无关组是 3 B ；(A) ；(B) ；(C) ； (D) 。 123, 124, 125, 1245, 4已知是非齐次线性方程组的两个不同的解向量，是齐次线性12, A xb12, 方程组的基础解系，为任意常数，则方程组的通解必是 B A xo12,k kA xb(A) ； (B) ；12 11222kk 12 112122kk (C) ； (D) 。12 112122kk 12 112122kk 5二次型是 5 B 提示：2 211nnii iifnxx222ijijfxxx x(A) 正定； (B) 半正定； (C) 负定； (D) 半负定。 三、 、已知矩阵，求1 2 3P 0,1,1Q 8PQ87771011 520,1,15022 3033PQPQPQPQP QPQ LB 卷卷本试卷共本试卷共 2 页，此页为页，此页为 B 卷第卷第 1 页页班级班级 姓名姓名 学号学号 装订线四、设，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，111 111111A X*12A XAX*AA求矩阵。X解：由可得，等式两边同乘，得*12A XAX*12AE XAA，即，得*12AAA XAA2A EA XE12XA EA11010114101 五、设,证明向量组线性相关。112223334441,baa baa baa baa1234,b b b b证明 设有使得，则整理可得1234,x x x x1 1223 344xxxxbbbbo，141122233344()()()()xxxxxxxxaaaao(1) 若线性相关,则存在不全为零的数，其中1234,a a a a1234,k k k k，114kxx212kxx323kxx434kxx由不全为零，知不全为零，即线性相关。1234,k k k k1234,x x x x1234,b b b b(2) 若线性无关，则，即1234,a a a a141223340000xxxxxxxx 123410010 11000 0110000110x x xx 由系数行列式为零，知此齐次方程存在非零解，则线性相关。综合得证1234,b b b b六、解方程组解：对系数的增广矩阵施行行变换:21, 3234, 4352;xyzw xyzw xyzw 211113213414352 L11610777 59501777 00000 即得 即116 777 595 777xzwyzwzz ww 12116 777 595 777 100 010x ykkz w七、若阶方阵均与对角矩阵相似，且他们有相同的特征多项式，证明存在可n,A B逆矩阵，使得。P1P APB证：由设可知有相同的特征值，设为，则存在可逆矩阵，使,A B12,n L12,P P得，于是，1 1121diag,nAPP L1 2122diag,nBPP L，令，即得11111 21121212BP PAP PP PA P P1 12PP P1P APB八、设均为实数，求二次型123,k k k是正定二次型的条件。 222 12311222333 1,f x x xxk xxk xxk x解：令，只要该变换为可逆变换，则原二次型化为，11122223333 1yxk xyxk xyxk x 222 123fyyy此二次型是正定的。于是所求的条件为，即12123310 0110 01k kk k k k 1231k k k 本试卷共本试卷共 2 页，此页为页，此页为 B 卷第卷第 2 页页 中中 原原 工工 学学 院院20042005 学年学年 第第 一一 学期学期工科工科 专业专业 线性代数线性代数 课程期末试卷标准答案课程期末试卷标准答案一、填空题1；2；3；4；51nDn1092AAO1t a10k 二、选择题 1 C ；2 B ；3 B ；4 B ；5 B 提示： 222ijijfxxx x三、解：87771011 520,1,15022 3033PQPQPQPQP QPQ L四、解：由可得，等式两边同乘，得*12A XAX*12AE XAA，即，得*12AAA XAA2A EA XE12XA EA11010114101 五、证明 设有使得，则整理可得1234,x x x x1 1223 344xxxxbbbbo，141122233344()()()()xxxxxxxxaaaao(1) 若线性相关,则存在不全为零的数，其中1234,a a a a1234,k k k k，114kxx212kxx323kxx434kxx由不全为零，知不全为零，即线性相关。1234,k k k k1234,x x x x1234,b b b b(2) 若线性无关，则，即1234,a a a a141223340000xxxxxxxx 123410010 11000 01100 00110x x x x 由系数行列式为零，知此齐次方程存在非零解，则线性相关。综合得证1234,b b b b六、解：对系数的增广矩阵施行行变换:2111132134 14352 L11610777 59501777 00000 即得 即116 777 595 777xzwyzwzz ww 12116 777 595 777 100 010x ykkz w 七、证：由设可知有相同的特征值，设为，则存在可逆矩阵，,A B12,n L12,P P使得，于是，1 1121diag,nAPP L1 2122diag,nBPP L，令，即得11111 21121212BP PAP PP PA P P1 12PP P1P APB八、解：令，只要该变换为可逆变换，则原二次型化为11122223333 1yxk xyxk xyxk x ，此二次型是正定的。于是所求的条件为，222 123fyyy12123310 0110 01k kk k k k 即1231k k k 班级班级 姓名姓名 学号学号 装订线B 卷卷本试卷答案共本试卷答案共 1 页，此页为第页，此页为第 1 页页