北师大版八年级数学北师大版八年级数学 （下册）（下册） 第四章第九节相似图形第四章第九节相似图形 图形的放图形的放 大与缩小大与缩小 承德市第七中学贾海燕承德市第七中学贾海燕 观察下图观察下图 ，一是万里长城雄伟壮，一是万里长城雄伟壮 丽的画面，二是神州飞船首飞成功丽的画面，二是神州飞船首飞成功 欣赏与观察 O E D A F C B 还记得我们怎样把一个图形放大吗？还记得我们怎样把一个图形放大吗？ （可以用两根相同的橡皮筋来完成）（可以用两根相同的橡皮筋来完成） 你知道用这种方法放大图形的原理吗？你知道用这种方法放大图形的原理吗？ 学了今天这节课的内容学了今天这节课的内容位似图形位似图形,你就知道了！你就知道了！ 回顾与反思 那么，关于这节课，你想知道哪些知识呢那么，关于这节课，你想知道哪些知识呢 ？ 相似图形的特例相似图形的特例 观察图片观察图片(参照参照P137图图4-27) ，思考下列问题：，思考下列问题： 1、它们是相似图形吗？、它们是相似图形吗？ 2、图形位置间有什么关系？你能寻找出一些规律吗？、图形位置间有什么关系？你能寻找出一些规律吗？ 探索与思考探索与思考 P A B C D E F 如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在的直线都经过而且每组对应点所在的直线都经过 同一个点同一个点,那么这样的两个图形叫做那么这样的两个图形叫做位似图形位似图形(homothetic figures),这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心(homothetic center),这时的相这时的相 似比又称为似比又称为位似比位似比(homothetic ratio). 相似相似 位似图形的性质位似图形的性质 灵感灵感 智慧智慧 观察图片，思考下列问题观察图片，思考下列问题 下列图中，哪一组是位似图形？下列图中，哪一组是位似图形？（教材（教材P138） (2) (1) (3) 位似图形的性质位似图形的性质 在下图中在下图中,(1),(3)中的两个图形是位似图形中的两个图形是位似图形,(2)中的两个图中的两个图 形不是位似图形形不是位似图形. 在图在图(1)中任取一对对应点中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心度量这两个点到位似中心 的距离的距离,它们的比与位似比有什么关系它们的比与位似比有什么关系? 性质：性质：位似图形上的任意一对对应点到位似图形上的任意一对对应点到 位似中心的距离之比等于位似比位似中心的距离之比等于位似比 O P (1) (3) (2) 灵感灵感 智慧智慧 观察图片，思考下列问题观察图片，思考下列问题 下列图中，哪一组是位似图形？下列图中，哪一组是位似图形？（教材（教材P138） 分别指出图分别指出图(1),(3)各自的位似中心各自的位似中心;位似比分别是多少位似比分别是多少 ? 在图在图(3)中再试一试中再试一试,还有类似的规律吗还有类似的规律吗? 位似图形的性质位似图形的性质 O P 灵感灵感 智慧智慧 P A B C D E F 位似中心都可以在什么地方？位似中心都可以在什么地方？ 橡皮筋放大图形的原理橡皮筋放大图形的原理 开启开启 智慧智慧 O E D A F C B 使用两根相同的橡皮使用两根相同的橡皮 筋来完成的放大图形筋来完成的放大图形 放大后的图形与原图形的相似比是多少呀？放大后的图形与原图形的相似比是多少呀？ 因为两根橡皮筋相同，所以，因为两根橡皮筋相同，所以，OA=AD，即，即OD=2OA 所以，位似比为所以，位似比为 2 ，即相似比为，即相似比为 2 其实，使用这种方法放大前后的两个图形是位似图形其实，使用这种方法放大前后的两个图形是位似图形 开启开启 智慧智慧 “联想”的功能联想”的功能 你能用这种方法将一个已知的多边形放大你能用这种方法将一个已知的多边形放大,使放使放 大后的图形与原来图形的位似比分别是大后的图形与原来图形的位似比分别是3和和4吗吗? （分组完成）（分组完成） 可以用三根相同 的橡皮筋来完成 因为，因为，OA=AX=XD , 即即OD=3OA,所以，位似比为所以，位似比为 3 O D E F B C A X Y Z 那么，位似比为那么，位似比为 4 4 ， 如果没有橡皮筋如果没有橡皮筋 , 只有尺规。你还能完成这些放大吗？只有尺规。你还能完成这些放大吗？ 就应该用四根橡皮筋就应该用四根橡皮筋 知识源于知识源于悟悟 益智的“机会”益智的“机会” 将将ABC的三边扩大为原来的的三边扩大为原来的2倍倍:(思考一下思考一下,分小组完成分小组完成) D E F O A B C 如图如图,任取一点任取一点O,连接连接OA、OB、OC，并分别延长至点，并分别延长至点 D、E、F，使，使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC， 依次连结依次连结DEF， 则则DEF的三边就是的三边就是ABC相应三边的相应三边的2倍倍 实践出真知实践出真知,一起来动手一起来动手: 实际上实际上ABC与与DEF是位似图形是位似图形.位似比是位似比是21. 益智的“机会”益智的“机会” 那么怎样将那么怎样将ABC的三边缩小为原来的的三边缩小为原来的1/2呢？呢？ （先独立完成，在小组交流）（先独立完成，在小组交流） 知识源于知识源于悟悟 如图如图,任取一点任取一点O,连接连接OA, OB, OC,并取它们的中点并取它们的中点D,E,F; DEF的三边就是的三边就是ABC相应三边的相应三边的1/2. 实际上实际上ABC与与DEF也是位似图形也是位似图形. 位似比是位似比是12. O A B C D E F 依次连结依次连结DEF， 如果在射线如果在射线AO,BO,CO上分别取点上分别取点D,E,F,使使OD=OA, OE=OB,OF=OC,将会出现什么现象？将会出现什么现象？ 实践的“享受”实践的“享受” 能力的能力的源泉源泉 如果在射线如果在射线AO,BO,CO上分别取点上分别取点D,E,F,使使OD=OA, OE=OB,OF=OC,将会出现什么现象？将会出现什么现象？ D E F A O B C 结果会得到一个与结果会得到一个与ABC全等全等的的DEF, DEF的三边的三边 与与ABC三边相等三边相等.即它们的位似比是即它们的位似比是11. 例题欣赏例题欣赏 如图所示如图所示,作出一个新图形，使新图作出一个新图形，使新图 形与原图形对应线段的比是形与原图形对应线段的比是21. 分 析分 析思 考思 考A B G C E D F P 在原图上取几个关键点在原图上取几个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外图外任取一点任取一点P; 作射线作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP; 在这些射线上依次取点在这些射线上依次取点A,B,C,D,E,F,G,使使 PA=2PA,PB=2PB,PC=2PC,PD=2PD,PE=2PE, PF=2PF,PG=2PG; B A C D E F G 顺次连接点顺次连接点A, B, C, D, E, F,G,所得到的图形所得到的图形(向下向下 的箭头的箭头)就是符合要求的图形就是符合要求的图形; 实际上实际上,新图形与原图形是位似图形新图形与原图形是位似图形,位似比是位似比是21. 想一想想一想,做一做做一做 亲历知识的发生和发展亲历知识的发生和发展 作射线作射线PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG,依次在射线上取点依次在射线上取点 A,B,C,D,E,F,G,使使 PA=2PA,PB=2PB,PC=2PC,PD=2PD,PE=2PE,PF=2P F,PG=2PG; A B C D E F G A B G C E D F P 在原图上取几个关键点在原图上取几个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外图外任取一点任取一点P; 顺次连接点顺次连接点A, B, C, D, E, F,G,所得到的图形所得到的图形( 向上的箭头向上的箭头)就是符合要求的图形就是符合要求的图形;实际上实际上,新图形新图形 与原图形是位似图形与原图形是位似图形,位似比是位似比是21. 梦想成真梦想成真 下面的说法对吗下面的说法对吗? ?为什么为什么? ? 分别在分别在ABCABC的边的边AB,ACAB,AC上取点上取点D,E,D,E,使使DEBC,DEBC,那么那么 ADEADE是是ABCABC缩小后的图形缩小后的图形; ; 分别在分别在ABCABC的边的边AB,ACAB,AC的延长线上取点的延长线上取点D,E,D,E,使使 DEBC,DEBC,那么那么ADEADE是是ABCABC放大后的图形放大后的图形; ; 分别在分别在ABCABC的边的边AB,ACAB,AC的反向延长线上取点的反向延长线上取点D,E,D,E,使使 DEBC,DEBC,那么那么ADEADE是是ABCABC缩小后的图形缩小后的图形; ; 想一想想一想P140 A B C D E A D E B C E D C B A (正确正确) (正确正确) (错误错误) 回味无穷 位似多边形位似多边形: : 定义定义: :如果两个图形不仅相似如果两个图形不仅相似, ,而且每组对而且每组对 应点所在的直线都经过同一个点应点所在的直线都经过同一个点, ,那么这样那么这样 的两个图形叫做的两个图形叫做位似图形位似图形(homothetic (homothetic figures),figures),这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心(homothetic (homothetic center),center),这时的相似比又称为这时的相似比又称为位似比位似比 (homothetic ratio).(homothetic ratio). 性质性质: :位似图形上的任意一对对应点到位似位似图形上的任意一对对应点到位似 中心的距离之比等于位似比中心的距离之比等于位似比 应用应用:1:1、橡皮筋放大图形的原理、橡皮筋放大图形的原理 2 2、如何作位似图形、如何作位似图形 ( (放大放大与与缩小缩小; ;正像正像与与倒像倒像) ). . 小结 拓展 我是“联想”总 裁 到现在为止到现在为止,我们都学过哪些我们都学过哪些图形变换图形变换了了? 图形这些不同的变换是我们学习几何必图形这些不同的变换是我们学习几何必 不可少的重要工具不可少的重要工具, ,可以帮助我们真正了解 数学的内在关系. 它不但装点了我们的生活它不但装点了我们的生活, ,而且是学习后而且是学习后 续知识的基础续知识的基础. . 小结与拓展 图形的变换: 对称( (轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形, ,中心对中心对 称与中心对称图形称与中心对称图形) ),平移,旋转,相 似,位似, 知识的升华 独立独立 作业作业 P138习题4.12 1,2题; 祝你成功！ 结束寄语 图形的变换: 对称,平移,旋转,相似,位 似, 可以帮助我们真 正了解数学的内在关系. 下课了!