1二次函数有关综合问题二次函数有关综合问题 初中数学重点难点分析东安县 易江学校 陈美华函数（主要是二次函数）与方程、不等式、几何图形及图形的面积相结合的综合问题，历年来都是各地中考试题的热点题型，这类综合问题，以直角坐标平面为背景，以二次函数为骨架，结合其他数形，以数形结合的形式进行综合应用，因此称之为函数型综合问题。由于中考兼有毕业与升学双重功能，因此中考数学试卷中除了以考查基础知识与基本技能为主的题型外，还有一两道综合性较强的较难题，而函数型综合题（主要是二次函数型综合题）首当其冲。纵观永州市近 10 年来的“初中毕业会考数学试卷”，几乎都是在最后一道压轴题或最后两道“附加题”中出现二次函数型综合题（2000 年的第 29 题，2001 年的第 28 题，2002 年的第 29 题，2003 年的第 29 题，2005 年的第 29 题，2006 年的第 28题，2007 年的第 24 题，2008 年的第 25 题，2009 年的第 25 题，2010 年的第 24 题等）。这说明了二次函数型综合题在初中教学与初中毕业会考中举足轻重的地位，所以就我个人多年的教学经验、永州市近 10 年来的“初中毕业会考数学试卷”中的二次函数型综合题及近年来全国初中数学竞赛中有关试题等进行分析，以达到初中数学教学中的重点难点突破和适应重点中学招考之需要。一、二次函数的图象和性质一、二次函数的图象和性质 1、形如到 yaxbxc（其中 a、b、c 为常数，a0）的函数，叫做二次函数，它的定义域是实数集 R。当 a0 时，它在区间（-，- b/2 a 是单调递减的，在区间- b/2 a，+）是单调递增的；当 a0 时，它在区间（-，- b/2 a 是单调递增的，在区间- b/2 a，+）是单调递减的。 2、二次函数 yaxbxc （a0）变形为y = a（x + b/2 a）+（4ac-b）/4a ,其图象是一条抛物线,顶 点为(- b/2 a , （4ac-b）/4a)，对称轴方程为x = - b/2 a 。 3、二次函数 yaxbxc（a0），当 a0 时，抛物线开口向上，2当 x = - b/2 a 时，函数 y 有最小值(4ac-b)/4a；当 a0 时，抛物线开口向下，当 x = - b/2 a 时 ，函数 y 有最大值(4ac-b)/4a ；当| a | 越大时，抛物线开口越小，当| a | 越小时，抛物线开口越大。4、在求二次函数的顶点坐标、最小值或最大值时，常采用配方法。例 1，已知二次函数 y = - x+2+2x+2 ，求它的顶点坐标和最大值。解：配方得：y = -（x 4x 4）+2 = -（x）+因此，函数开口向下，对称轴为 x =，顶点为（，），当 x =时，y 有最大值求二次函数的最大值或最小值有着广泛的应用。例 2，求正方形的最小面积的内接正方形（各顶点分别在原正方形的边上的正方形，称为原正方形的内接正方形）。解： 如图 1 所示，正方形 ABCD，依次在各边上取点 E、F、G、H，使 EFGH 为正方形，根据三角形全等 F 可得 AE=BF=CG=DH。 H 设 AB= a ，AE= x，则正方形 EFGH 的面积为 S=EF= x + （ax） x axa G （x ax）a （xa/2） a/2 图所以，当 AExa/2（即为的中点）时，正方形 EFGH 面积最小，且为 a/2。 与一元二次方程 axbxc (a0 )二、二次函数与一元二次方程的综合。二、二次函数与一元二次方程的综合。这类题型主要是以二次函数为骨架，建立二次函数的图象及性质、一元二次方程有关根的理论的综合。解题时要注意二次函数的图象信息与一元二次方程的代数信息的互相转化。如：二次函数：yaxbxc（a0） 的图象与 x 轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程：axbxc (a0 ) 的两个根；二次函数 yaxbxc（a0）与 y 轴的交点就是（，c）；点在函数图象上就是点的坐标满足函数的解析式，反之，点的坐标满足函数的解析式就是点在函数图象上；点的坐标与相应线段之间的关系；两个函数的交点坐标就是这两个函数的解析式所组成的方程组的解，等等。3例 3，永州市 2003 年初中毕业会考数学试卷的第 29 题：已知二次函数 ymx-16mx + +10m+10 的图象与 x 轴交点的横坐标之差为 2。求抛物线的解析式。设抛物线与 x 轴交点为 A、B，以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，那么 C 点是否落在抛物线上？为什么？解：设二次函数（抛物线）ymx-16mx + +10m+10 的图象与 x 轴的交点为（x，）和（x，），则x、x是一元二次方程mx-16mx + +10m+10的两个根，且xx 由一元二次方程根与系数的关系可得： xx16m2m xx(10m+10)2 m(m+)m 由得：（xx），即（xx）xx 将、代入得：64(m+)m 解之得： 。 因此所求的抛物线的解析式为 yx-x + +。根据题意及抛物线的解析式画出有关图形， y如图所示。解方程 C2得 A（3，0），B（5，0），AB=2。 o x 以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，则 C 有 C1两个位置 C1 和 C2，C在 x 轴下方，C2在 x 轴上方， 图 2则四边形 A C1B C2为正方形，连接 C1 C2交 AB 于 D，则 A B 与 C1 C2互相垂直平分，且DA=DB=DC1=DC2=1，OD。C1 的坐标为（，），C2的坐标为（，）。 将 C1 和 C2的坐标分别代入抛物线 yx-x + + 得：C1：右边左边（），4C：右边左边（）。所以，点 C1的坐标满足二次函数的解析式，点 C的坐标不满足二次函数的解析式，则点 C1在抛物线上，点 C不在抛物线上。因此，当 C 点在 x 轴下方时，落在抛物线上，当 C 点在 x 轴上方时，不落在抛物线上。还有 2000 的第 29 题，2001 的第 28 题，2002 年的第 29 题也都属于这种类型。因 2004 年以后，考查的是新课程改革以后的试题，新的教学大刚已将“一元二次方程根与系数的关系”列为了课外内容，所以二次函数与一元二次方程综合型试题再没有正式出现在中考试卷中。但在高一级的选拔考试（特别是重点高中的入学考试）及全国性的初中竞赛中，二次函数与一元二次方程综合型试题，还是一种典型的热点试题。二次函数 yaxbxc(a0 )与一元二次方程 axbxc (a0 )之间的内在联系，可由它们共同的判别式bac 进一步明确化：、当判别式bac 时，抛物线与 x 轴有两个不同的交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；、当判别式bac时，抛物线与 x 轴只有一个交点即抛物线的顶点在 x 轴上，一元二次方程有两个相等的实数根；、当判别式bac0）与坐标轴交于点 A、B、C且 OA1，OBOC3 （1）求此二次函数的解析式（2）写出顶点坐标和对称轴方程（3）点 M、N 在yax2bxc的图像上(点 N 在点 M 的右边)，且 MNx轴，求以 MN 为直径且与x轴相切的圆的半径解： （1）依题意得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）将它们分别代入抛物线 yaxbxc（a0）得： a-bc=0 9a3bc=0 C=-3 由联立解得 a=1，b=-2，c=-3， 所求的二次函数的解析式为 yx-2x-3 （2）yx-2x-3=（x-1）-4 图 8抛物线 yx-2x-3 的顶点坐标为（1，-4），对称轴 x=1。 （3）设圆半径为 r，因为 M、N 在抛物线上，且 MNx轴，所以圆与抛物线有共同的对称轴 x=1。当在 轴下方时，N 点坐标为（r+1，-r）MNx把点 N（r+1，r）代入 yx-2x-3 得.当在 轴上方时，N 点坐标为（r+1，r）MNx把点 N（r+1，r）代入 yx-2x-3 得。例 14、“数学周报杯”2010 年全国初中数11学竞赛试题 第 11（A）题：如图 9 所示，抛物线（a 0）与双曲线相交于点 A、B 。已知点 Akyx的坐标为（1，4），点 B 在第 图 9 三象限内，且AOB 的面积为 3（O 为坐标原点）.（1）求实数 a，b，k 的值；（2）过抛物线上点 A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C，求所有满足EOCAOB 的点 E 的坐标.解：解：（1）因为点 A（1，4）在双曲线上，所以 k=4. 故双曲线的函数表达式为. 设点 B（t，），AB 所在直线的函数表4 t0t 达式为，则有解得，.于是，直线 AB 与 y 轴的交点坐标为，故 ，整理得， 解得，或 t（舍去）21所以点 B 的坐标为（，）因为点 A，B 都在抛物线（）上，所以 解得 （）如图 10 所示，因为 ACx 轴，所以 C（，4），于是 CO4.2又 BO=2，所以. 2设抛物线（a0）与 x 轴负半轴 图 10相交于点 D，则点 D 的坐标为（