专题课堂 (二 ) 全等三角形判定的综合应用 第十二章 全等三角形 一、全等三角形判定方法的巧用 类型： (1)已知两边对应相等 ， 寻找第三边或夹角对应相等； (2)已知一边一角对应相等 ， 寻找另一角或夹这一角的另一边对应相等； (3)已知两角对应相等 ， 寻找任一边对应相等； (4)在直角三角形中 ， 已知一条直角边 (斜边 )对应相等 ， 寻找斜边 (另一条直角边 )对应相等 【 例 1】 如图 ， 四边形 ， 1 2， 3 4. 求证： (1) (2)分析： (1)已知 1 2， 3 4， 寻找公共边 利用 (2)由 (1)可得 利用 证明： (1) 1 2， 3 4， (2) 1 2， 对应训练 】 1 如图 ， 在四边形 90 ， 长 点 ， 使 (1)求证： (2)求证： 证明： ( 1 ) B A D 90 ， A B C A D C 180 ， 又 A D C C D E 180 ， A B C E ( 2 ) 在 C ， B E D C ， A B C E S A S ) 2 如图 ， A， F， E， 证明： A C E B 90 . 在 B D F 中 ， A C E B ， A B. 即 在 A C F 和 B D E 中 ， A B ， A C F B S A S ) 3 如图 ， 在 ， 且 分别延长 证明：在 A B C 和 中 ， B A C C D B ， A C B ， ( A A S ) ， 又 C F A C F D B . 在 F A C 和 F D B 中 ， F F ， F A C F F A C F D B ( A A S ) ， 二、构造三角形证全等的常用方法 类型： (1)倍长中线法：延长中线至一倍构造全等三角形 ， 将有关的线段转化到一个三角形中去证明； (2)截长补短法：线段的和差问题常采用截长或补短法构造全等三角形 ，将转移的边、角和已知边、角有机地结合在一起； (3)补全图形法：此法可通过图形的平移、旋转或折叠实现； (4)作平行线构造三角形：可以将角进行转移 ， 进而构造全等三角形； (5)根据角平分线构造全等三角形：已知角平分线 ， 常直接利用角或边相等的关系构造三角形 ， 也常过角平分线上的点向两边引垂线构造直角三角形而巧妙地解决问题 【 例 2】 如图 ， 在 60 ， 求证： 分析： 在 F 连接 由 得 从而得到 60 ， 再由 得 从而得到结论 证明：在 取 连接 O F . 分 B A C ， E A O F A O ， 在 A E O 和 A F O 中 ， E A O F A O ， A E O A F O ( ) ， A O E A O F . 别平分 B A C ， A C B ， D A C 12 A C B 12 B A C 12( A C B B A C ) 12( 180 B ) 60 ， 则 A 180 E C A D A C 120 ， A O C 120 ， A O E C A O F 60 ， 则 C O F 60 ， C C O F . 在 F O C 与 ， C O F C F C O D C O ， F O C D A ， 【 对应训练 】 4 如图 ， 在 已知 5， 3， 求中线 解：延长 E ， 使 连接 中线 ， 在 A B D 和 E C D 中 ， A D B E D C ， A B D S A S ) ， 5. A C A E C E 2 A E 8 ， 1 A D 4 5 如图 ， 在 垂足为 2 1 C. 证明：延长 点 F ( 相当于将 向下翻折 ， 与 重合 ，A 点落在 F 点处 ， 折痕为 分 A B C ， A B E C B E . A D B B 90 . 在 F B D 中 ， A B D F B D ， A D B F D B 90 ， A B D F B D ( A ， 2 D F B D F B 1 C ， 2 1 C 6 如图 ， 已知 90 ， 将三角尺的直角顶点 两直角边分别与 ， D， 证明： 证明：过点 P 作 点 E ， 点 F ， 90 . A 平分线 ， A O B 90 ， C 90 ， P C E 360 90 90 180 ， 而 180 ， . 在 P C E 和 ， ， ， ( A A S ) ， 7 如图 ， 在四边形 A B C D 中 ， B D 180 ，E ， F 分别是边 的点 ， 且 E A F 12 B 求证： F D. 证明：将 A D F 顺时针旋转得到 A B G ， 使得 合 ， 则 A A B G ， F A G D ， A B E D 180 ， A B E 180 ， 即 G ， B ，E 共线 E A F 12 12 F A G ， E A G ， 在 E A E A F 中 ， E A G E A F ， E A G E A F ( S A S ) ， 8 如图 ， 在 90 ， 点 ， 其延长线交 ， 连接 证明：过点 G ， G 90 ， G 90 ， 45 ， 又 G