第十一章 三角形 边形及其内角和 专题课堂 (一 ) 三角形 一、三角形的三边关系 类型： (1)判定三条线段能否组成三角形； (2)已知两边求第三边的取值范围； (3)求等腰三角形的边长及周长 注意： (1)已知等腰三角形的两边求第三边时要分类讨论； (2)求得三角形的边长时 ， 要用三角形三边关系验证 【 例 1】 (2015朝阳 )一个三角形的两边长分别是 2和 3， 若它的第三边长为奇数 ， 则这个三角形的周长为 _ 分析： 设第三边长为 x， 由三角形的三边关系可得关于 再由 可确定 从而求出周长 8 【 对应训练 】 1 下列每组数分别表示三根木棒的长度 ， 将它们首尾连接后 ， 不能摆成三角形的一组是 ( ) A 4， 4， 8 B 5， 5， 1 C 3， 7， 9 D 2， 5， 4 2 若一个三角形的三边长分别为 2， 3， x， 则 (只需填一个整数 ) A 2或 3或 4 3 已知等腰三角形的周长是 16 (1)若其中一边长为 4 求另外两边的长； (2)若其中一边长为 6 求另外两边的长 解： (1)若 4 则底边长 16 4 2 8( 4 4 8， 不能构成三角形；若 4 则腰长为 (16 4) 2 6 ( 能构成三角形 ， 另两边的长为 6 6 2)若 6 则底边长为 16 6 2 4( 能构成三角形；若 6 则腰长为 (16 6) 2 5( 能构成三角形 ， 另外两边的长为 6 4 5 、与三角形有关的角的计算 依据：三角形内角和定理与外角性质 类型： (1)与角平分线和高的综合应用； (2)与平行线的综合应用； (3)利用角的和、差解决问题 注意：应用外角的性质不要忽略 “ 不相邻 ” 这个前提 【例 2 】 如图 ， 在 ， 分 . (1) 若 B 80 ， C 34 ， 求 D 大小； (2) 若 B C ， 请说明 D 12( B C) 分析： ( 1) 由 B B C 180 可求出 B 由 分 得 E 在 A ， 可求 D 从而求出 D ( 2) 由 D D ( 90 C) 12 ( 180 B C)可推得 解： ( 1 ) 12 12( 180 80 34 ) 33 ， 90 C 90 34 56 ， D 56 33 23 ( 2 ) 而 12 12( 180 B C ) 90 B 90 B ， ( 90 B ( 90 B ) 12( B C ) 【 对应训练 】 4 如图 ， 60， 40 ， 则 ) A 40 B 60 C 80 D 100 5如图 ， 在 90 ， 沿 使点 处 ， 若 A 25 ， 则 ) A 44 B 60 C 67 D 70 C D 6 如图 ， 直线 m n， 在直线 C 90 . 若 1 25 ， 2 70 ， 则 B . 45 7 如图 ， 线段 ， 连接 ， 在图 的条件下 ， ， 并且与 ， (1)在图 中 ， 请直接写出 A， B， C， ； (2)在图 中 ， 若 D 40 ， B 30 ， 试求 (写出解答过程 ) (3)如果图 中 其他条件不变 ， 试写出 D， (直接写出结论即可 ) A D C B 解： ( 2 ) A M O 1 D 3 P ， C N O 4 B 2 P ， 1 4 B D 2 3 2 P ， 1 2 ， 3 4 ， 2 P 30 40 ， P 35 ( 3 ) P 12( B D ) 三、多边形的内角和、外角和的应用 依据：多边形的内角和与外角和定理 类型： ( 1 ) 已知多边形的边数 ， 求内角和； ( 2 ) 已知多边形的内角和 ， 求边数； ( 3 ) 已知正多边形的一个内角 ， 利用（ n 2 ） 180 n内角的度数 ， 求边数； ( 4 ) 已知正多边形的一个外角 ， 利用360 n外角的度数 ， 求边数 【 例 3】 有一个多边形 ， 除去一个内角外 ， 其余内角之和是 2570 ， 求这个内角的度数 分析： (方法一 )我们可以从除去的这个内角去考虑 ， 这个内角的度数应在 0 与 180 之间； (方法二 )这个多边形的每一个外角应在 0 与180 之间 ， 而除去的这个角的外角为 180 (n 2)180 2570 ； (方法三 )多边形的内角和为 180 的整数倍 ， 由于 2570 180 以这个多边形的所有内角和为 15 180 . 解： ( 方法一 ) 设这个多边形的边数为 n ， 则 （ n 2 ） 180 2570 ，（ n 2 ） 180 2570 180 ，解得 16518n 17518. n 为正整数 ， n 17 ， 所求的内角为 ( 17 2 ) 180 2570 130 ( 方法二 ) 设这个多边形的边数为 n ， 则 0 180 ( n 2 ) 180 2570 1 80 ， 解得 16518n1 7518， n 为正整数 ， n 17 ， 所求的内角为 ( 17 2 ) 180 2570 130 ( 方法三 ) 25 70 180 14. 3 ， 这个多边形的内角和为 15 180 ， 所求内角为 15 180 25 70 130 【 对应训练 】 8 下列各度数不是多边形的内角和的是 ( ) A 1800 B 540 C 1700 D 1080 9 若一个多边形的每个内角都为 135 ， 则它的边数为 ( ) A 8 B 9 C 10 D 12 C A 10 (2015辽阳 )一个多边形的内角和是外角和的 2倍 ， 则这个多边形的边数是 _ 11 一个多边形截去一个角 ， 形成一个新多边形 ， 新多边形的内角和为2520 ， 则原多边形的边数是多少？ 解：设新多边形的边数为 n， 依题意得 (n 2)180 2520， 解得 n 16，则原多边形的边数为 15， 16或 17 6