1习 题 一1. 用列举法表示下列集合： （1）1 到 100 之间的自然数的集合； （2）小于 5 的正整数集合； （3）偶自然数的集合； （4）奇整数的集合.解：(1) (2) ，A , , ,1 2 3100LB , , , 1 2 3 4(3) , (4) .0,2, 4, 6,8,C LD , , , ,LL531 1 3 52. 用描述法表示下列集合： （1）偶整数的集合；（2）素数的集合； （3）自然数的整数幂的集合.a解：(1) 2整除的整数被是能xxE (2) 11数和自身整除的整且只能被是大于xxP (3) 是整数是自然数，naaAn3. 设请判断下面的写法正确与否：,1 , 4 , 3,4,3 , 2aRaS（1）（2）Sa Ra （3）（4）Sa3 , 4,Ra4 , 3 , 1,（5）（6）SR Sa （7）（8）Ra R（9）（10）ERaS（11）（12）R4,3解：(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错; (5) 错; (6) 对; (7) 错; (8) 对; (9) 对; (10) 错; (11)错; (12) 对. 4. 设、和为任意三个集合. 以下说法是否正确? 若正确则证明之, 否则举反例说明.ABC （1）若且，则；BACB CA（2）若且，则；BACB CA （3）若且，则；BA CBCA（4）若且，则BA CBCA 解：(1) 正确。因，所以，对任何均有，今，故。BCxBxCABAC(2) 错误。例如，令。ABC , , , , , 11212 3(3) 错误。例如，令 。ABC , , , , 11 21 2(4) 错误。例如，令 。ABC , 115. 设是集合且.是集合吗? 请证明你的结论.SSPSS P解：假设是集合。于是，P (1) 若，则由的定义，有；PPPP (2) 若，则由的定义，有。PPPP总之，有 当且仅当 。此为矛盾。故不是集合。PPPPP 6设.试求下列集合：3 , 4,5 , 4 , 1,3 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1CBAE2（1）；（2）；BAICBAUI)(（3）；（4）；)(BAIBA U（5）；（6）；CBA)()(CBA（7）；（8）CBA)()()(CBBA解： (1) (2) ; (3) ; AB ;3() , , ABC 1 2 5(AB) , , , 2 3 4 5(4) ; (5) (6) AB , , , 2 3 4 5();ABC ABC() ;3(7) (8) .() ;ABC 5()() , ABBC 1 47. 设、和为任意三个集合，以下说法是否正确？若正确则证明之，否则举反例说明.ABC （1）若，则；CABAUUCB （2）若，则；CABAIICB （3）若，则；CABACB （4）若，则或；CBAUBA CA （5）若，则或ACBIAB AC 解：(1) 错误。例如，令;ABC , , , 11 22(2) 错误。例如，令;ABC , , 123(3) 对。若，不妨设。于是，BCxBxC而(i) 若，则，但 ；xAxABxAC (ii) 若，则，但 。xAxABxAC此与矛盾。故结论成立。ABAC （4）错。例如，令;1,2,1,2ABC（5）错。例如，令2,1,2,2,3ABC8. 设、和是任意三个集合，试证明：ABC （1）当且仅当；BA BA （2）；ABBA （3）；)()(CBACBA（4）；)()()(CABACBAIII（5） )()()(CABACBAUUU解：(1) 设。于是。反之，设。ABABABABAA ()()AB 若，则不妨设。于是，从而。ABxAxB而xABxAB,而AB 此为矛盾。故。 AB (2) 。ABABABBABABA()()()()(3) 左式=()ABC=()()ABBAC=()()ABBAC=()()()()ABBACABBAC=()()()()ABBACABBAC=()()()()ABAABBCABCABC3=()()()()ABABCABCABC=()()()()ABCABCABCABC右式=ABC()=ABCBC()()=()()()()ABCBCABCBC=()()()()()ABACBCABCBC= ()()()()()()ABBCACBCABCBC=()()()()ABCABCABCABC=()()()()ABCABCABCABC=左式 (4) 证明：ABC ABCCBABCCBABCABCABAC ABACACABABACACABABACACABABCABC () ()()()()()()()() ()()()()()()()()()()()()()()而因此，ABCABAC()()()(5) 证明：取且于是，从而，但因此，AAB ACABCBCABCAABACAAABCABAC ,.,().()().()()().9. 设,试确定以下集合：3 , 2,2 , 1BA（1）；（2）；（3）BA 1BA 22)(AB解：AB , , , , ,11 1 21 1 32 1 22 1 3AB AAB21 121 131 221 232 122 132 222 23 1 1 21 1 31 2 21 2 32 1 22 1 32 2 22 2 3 () , , , , , , , , , , BA ,2 12 23 13 2()()(),BABABA 22 12 12 12 22 13 12 13 22 22 12 22 22 23 12 23 23 12 13 12 23 13 1 ,313 23 22 13 22 23 23 13 23 2410. 证明：若，则.BBAABA 解：因为 ,xAiffx xAAiffx xBBiffxB,所以，。当时，ABBBAB11. 证明：若，且，则.CABAACB 解：任取，因，所以存在，使，从而。yBA xAx yAB,x yAC,因此，即。同理可证。故。yCBCCBBC12. 设为任意元素，令yx, ,yxxyx试证明：当且仅当.,uyxyux,解：设，即 。x yu v, , , , , xx yuu v（1） 若 ，则有 ； , , , xux yu vxuyv,（2） 若 ，则有 。 , , , xu vx yuxyuv反之，设，则由定义有 。xuyv,x yu v,13. 将三元有序组定义为合适吗？为什么？zyx,zyxyxx解：不合适。例如，由定义，1 2 111 21 2 111 2, , , , , , , , , 而 1 1 211 11 1 211 2, , , , , , , , , 但显然。1 2 11 1 2, , ,