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一一阶阶电电路路的的冲冲激激响响应应一一、 单单位位冲冲激激函函数数 单位冲激函数也是一种奇异函数,通常用符号(t)表示,因此单位冲激函 数又被称为 函数。单位冲激函数的定义为 所以单位冲激函数是宽度趋于 0、高度趋于、面积为1 的特殊函数。单位冲激函数可以看作是单位脉冲的一种极限。如图1 是一个宽度为、高度为的矩形脉冲,其面积 当 宽度 不断减小时,矩形脉冲的高度就不断增大,当脉冲宽度 趋近于0 时,其高度趋近于,但其面积不变,仍然为1,该极限情况即为单位冲激函数。 由于 故 单位冲激函数与t 轴所包围的面积的大小称为该函数的强度,所以单位冲激函数的 强度为1。单位冲激函数的波形如图2 所示,用带箭头的线段表示,箭头旁边标注的是 它的强度。如果冲激函数为Kd(t),则该冲激函数的强度为K, 如图 3 所示。图4 所示波形则是一个延时的单位冲激函数,即 需要说明的是单位冲激函数的积分上、下限也可以不是正、负无穷,只要积分的上、 下限包围了函数存在的那一点,积分就等于1,故有下面两式成立 二二、 单单位位冲冲激激函函数数的的主主要要特特性性 当一个连续函数f( t)和单位冲激函数相乘时,由于t0 时 d(t) 0,所以有 f(t) d(t)= f(0) d(t) 故 上式被称为筛选特性或采样特性。由此可推论得 式( 1)和式( 2)的积分限可缩小,且有 三三、单单位位冲冲激激函函数数与与阶阶跃跃函函数数的的关关系系 四四、电电路路中中的的冲冲激激函函数数 图 5 所示电路,电容上原无储能即uc(0-)=0,当电源电压加到电容元件上后,不 难得电容电压为uc(t)=(t),并且可知uc(0+)=1,即电容电压发生了跳变,此时电容不 再遵守uc(0-)= uc(0+)的换路定则。而电容电流 即电容电流为冲激函数。换句话说,电容电压的跳变是冲激电流作用的结果。同理,当冲激 电压作用于电感元件时,如图6 所示电路,电感电流同样会发生跳变,且 当电感元件的初始储能为零,即iL(0-)=0 时,因此单位冲激电压使电感电流从0 跳变到了1/L。 五五、单单位位冲冲激激响响应应 单位冲激响应是零状态网络对单位冲激信号的响应。单位冲激响应通常用h(t) 表示。下面介绍两种求解单位冲激响应的方法。 1、 零输入响应法 由于 单位冲激函数只存在于t=0 的一瞬间,在t 0 时其数值为零,所以当 单位冲激激励作用于电路时,意味着单位冲激激励源在t=0 的一瞬间将能量储存到了 动态元件上,之后的响应便是由动态元件上的储能来提供的,因此其响应形式与零输入响应 相同,故被称为零输入响应法。用零输入响应法求解单位冲激响应h(t)的步骤为 根据电路方程,求得uc(0+)或 iL(0+)。 求解由uc(0+)或 iL(0+)产生的零输入响应。 下面以图7( a)所示电路为例说明该方法。假设uc(0-)=0,以电容电压uc为变量, 电路的KVL 方程为 对该方程作0到 0的积分,有 其中 部分,只有当uc为冲激函数时其积分才有值。为此假设uc为冲激函数,那么就是冲激函数的一次微分,将它们代入到电路的KVL 方程中,显然方程不成立,也就是说以上假设是错误的,故电容电压只可能为有限值,因此积分为零。从而得 因此电容电压的单位冲激响应为 而电容电流的单位冲激响应为 电容电压和电容电流的单位冲激响应波形如图7( b)和( c)所示。 再如图8 所示 RL 电路,其KCL 方程为 对该方程作0到 0+的积分,有 由于电感电流不可能为冲激函数,所以,故上式积分得 因此电感电流的单位冲激响应为 电感电压的单位冲激响应为 2、利用单位阶跃响应求单位冲激响应 当单位阶跃信号作用于电路时,其响应为单位阶跃响应,且满足式子 对于同一个电路,如将激励源换成单位冲激信号,则对应的响应即为单位冲激响应,且 有 对式( 3)两边作微分运算,不难得出 比较( 3) 、 ( 4)两式可得 因此单位阶跃响应的微分就是该电路的单位冲激响应。 例例 1 11 1 1 15 5 电路如图,且知iL(0-)=0,求电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。 解解: 下面分别用两种方法求解电路。 零输入响应法 建立关于电感电流的微分方程,有 对方程两边积分求电感电流的初始值 由于电感电流不可能为冲激函数,所以有 iL(0+) iL(0)=5 故: iL(0+)=5A 时间常数: 故电感电流: 电感电压: ( 2) 法 设电感电流的单位阶跃响应为s1(t)、电感电压的单位阶跃响应为s2(t) 时间常数:根据三要素法得电感电流的单位阶跃响应为 电感电压的单位阶跃响应为 所以电感电流:电感电压
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