常微分方程常微分方程期末试卷期末试卷(16)班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题 5 分，本题共 30 分）1方程的任一解的最大存在区间必定是 xxyxyesindd2方程的基本解组是 04 yy3向量函数组在区间 I 上线性相关的_条件是在)(,),(),(21xxxnYYYL区间 I 上它们的朗斯基行列式0)(xW4李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件 5阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间n6向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是它)(,),(),(21xxxnYYYLI们的朗斯基行列式，0)(xWIx得分 评卷人 二、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分）求下列方程的通解7. xyxy2e3dd8. 0)d(d)(3223yyyxxxyx9 0exyy10求方程的通解xyy5sin5 11求下列方程组的通解 yxtyyxtx4dddd得分 评卷人 三、证明题（每小题 15 分，本题共 30 分）12设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基)(1xy)(2xy0)( yxqy行列式，其中为常数CxW)(C13设在区间上连续试证明方程)(x),(yxxysin)(dd的所有解的存在区间必为),(常微分方程常微分方程期末试卷参考答案期末试卷参考答案一、填空题（每小题 5 分，本题共 30 分）1 ),(2xx2cos,2sin3必要 4充分 5n 6必要 二、计算题（每小题 8 分，本题共 40 分） 7解 齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为xCy3exxCy3e )(代入原方程，确定出 CxCx5e51)(原方程的通解为+ xCy3ex2e518解 由于，所以原方程是全微分方程 xNxyyM 2取，原方程的通积分为)0, 0(),(00yx103023dd)(Cyyxxyxyx即 。 Cyyxx422429解 令，则原方程的参数形式为ty tytxte由基本关系式ttxyytd)e1 (dd积分有Cttyt) 1(e212得原方程参数形式通解。 Cttytxtt) 1(e21e210解 方程的特征根为，0152齐次方程的通解为 因为不是特征根。所以，xCCy5 21eii5设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数得xBxAxy5cos5sin)(1 0252512525 BABA确定出 ， 。501A501B原方程的通解为 。 )5sin5(cos501e521xxCCyx11解 特征方程为01411EA即 。 特征根为 ， 。 03223112对应特征向量应满足31 00 31413111 ba可确定出 2111 ba同样可算出对应的特征向量为12所以，原方程组的通解为 2122 ba。 tttt CCyx2ee 2ee2331三、证明题（每小题 15 分，本题共 30 分） 12证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条xoy件 显然 是方程的两个常数解 任取初值，其中,1y),(00yx),(0x记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷10y)(xyy )(xyy 远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛1y1y盾故该解的存在区间必为),(13证明 如果和是二阶线性齐次方程)(1xy)(2xy0)()( yxqyxpy的解，那么由刘维尔公式有x0d)(0e )()( xttpxWxW现在，故有0)(xp。 CxWxWxWxt)(e )()(0d00x0