甘肃自考教育中心网 www.gszk-edu.com 联系电话：0931-8437986(报名处)更多试题下载。更多试题下载。 。 。www.gszk-edu.com 第 1 页（共 89 页）0931-8437986甘肃自考教育中心网www.gszk-edu.com概率论与数理统计二 串讲笔记学学 员员 姓姓 名：名： 学学员员所在学校：所在学校： （内部资料，请勿复印）甘肃自考教育中心网 www.gszk-edu.com 联系电话：0931-8437986(报名处)更多试题下载。更多试题下载。 。 。www.gszk-edu.com 第 2 页（共 89 页）0931-8437986甘肃自考教育中心网 www.gszk-edu.com 联系电话：0931-8437986(报名处)更多试题下载。更多试题下载。 。 。www.gszk-edu.com 第 3 页（共 89 页）0931-8437986第第 1 讲讲 随机事件和概率随机事件和概率 11 知识网络图知识网络图12 重点考核点的分布重点考核点的分布(1)样本空间与随机事件*(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式)*(3)条件概率与概率的乘法公式*(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性)*(5)全概公式与贝叶斯(Bayes)公式(6)伯努利(Bernoulli)概型各个考核点前面加“*”表示重点考核点；“*”表示次重点考核点；括号前没有标注的表示一般考核点(下同) 13 课上复习内容课上复习内容131 预备知识预备知识在复习“概率论”之前，我们需要掌握“二值集合” 、 “组合分析中的几个定理” 、 “随机现象及其统计规律”和“微积分”等内容，下面将有关内容作一简单介绍：1311 二值集合二值集合集合是一个不能给出数学定义的概念，尽管如此，我们仍然可以给它一个定性描述所谓集合就是按照某些规定能够识别的一些具体对象或事物的全体构成集合的每一个对象或事物叫做集合的元素集合通常用大写字母 A，B，C 表示，其元素用小写字母 a，b，c 表示设 A 是一个集合，如果 a 是 A 的元素，记作 aA，用“1”表示这一隶属关系；如果 a 不是 A 的元素，记作 aA(或 aA)，用“0”表示这一隶属关系因此，我们称这种集合为“二值集合” ，在初等概率论中，我们只研究这样的集合有关二值集合的表示方法、基本性质在初等数学中已作过详细讨论，这里不再重复下面仅就集合的“相等”与“等价”概念以及集合分类情况作一简单介绍例例 1 设 A2，4，8，则集合 A 的所有子集是，2，4，8，2，4，2，8，4，8，2，4，8注意，在考虑集合 A 的所有子集时，不要把空集和它本身忘掉设 A，B 是两个集合如果 AB，BA，那么称集合 A 与 B 相等相等，记作 AB很明显，含有相同元素的两个集合相等例例 2 设 A0，2，3，Bx|x 为方程 x35x26x0 的解，则 AB设 A，B 是两个集合如果 B 的每一个元素对应于 A 的唯一的元素，反之 A 的每一个元素对应于 B 的唯一的元素，那么就说在 A 和 B 的元素之间建立了一一对应关系，并称 A 与 B 等价等价，记作AB甘肃自考教育中心网 www.gszk-edu.com 联系电话：0931-8437986(报名处)更多试题下载。更多试题下载。 。 。www.gszk-edu.com 第 4 页（共 89 页）0931-8437986与自然数集 N 等价的任何集合，称为可列集可列集显然，一切可列集彼此都是等价的今后我们常称这类集合中元素的个数为可列个(或可数个)，并把有限个或可列个统称为至多可列个至多可列个(或至多可数个至多可数个)例例 3 设 Aa|a2n，nN，Bb|bn21，nN，则 AB由上面的讨论可以看出，集合的分类分类如下：1312 组合分析中的几个定理组合分析中的几个定理1加法原理加法原理定理定理 1 设完成一件事有 n 类方法，只要选择任何一类中的一种方法，这件事就可以完成若第一类方法有 m1种，第二类方法有 m2种，第 n 类方法有 mn种，并且这 m1m2mn种方法里，任何两种方法都不相同，则完成这件事就有 m1m2mn种方法2乘法原理乘法原理定理定理 2 设完成一件事有 n 个步骤，第一步有 m1种方法，第二步有 m2种方法，第 n 步有 mn种方法，并且完成这件事必须经过每一步，则完成这件事共有 m1m2mn种方法3排列排列定义定义 1 从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素，按照一定顺序排成一列，称为从 n 个元素中每次取出 m个元素的排列定理定理 3 从 n 个不同元素中，有放回地逐一取出 m 个元素进行排列(简称为可重复排列)，共有 nm种不同的排列例例 4 袋中有 N 个球，其中 M 个为白色，从中有放回地取出 n 个：N10，M2，n3；N10，M4，n3考虑以下各事件的排列数：()全不是白色的球()恰有两个白色的球()至少有两个白色的球()至多有两个白色的球()颜色相同()不考虑球的颜色答案是：当 M2 时，()83 ()3228 ()322823()3228328383(或 10323) ()2383 ()103当 M4 时，将上面的 24，86 即可分析分析 这是一个可重复的排列问题由定理 3，可求出其排列数问题问题 恰有两个白色球的答案中为什么是 3 倍的 228，而不是 1 倍或 6 倍的？提示提示 根据加法原理定理定理 4 从 n 个不同元素中，无放回地取出 m 个(mn)元素进行排列(简称为选排列)共有)!(!) 1() 1(mnnmnnnL种不同的排列选排列的种数用(或)表示，即 m nAm nP)!(! mnnAmn特别地，当 mn 时的排列(简称为全排列)共有n(n1)(n2)321n!种不同排列全排列的种数用 Pn(或)表示，即 Pnn!， 并规定 0!1n nA4组合组合定义定义 2 从 n 个不同元素中，每次取出 m 个元素不考虑其先后顺序作为一组，称为从 n 个元素中每次取出m 个元素的组合定理定理 5 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合(简称为一般组合)共有(1)(1)! !()!n nnmn mm nmL甘肃自考教育中心网 www.gszk-edu.com 联系电话：0931-8437986(报名处)更多试题下载。更多试题下载。 。 。www.gszk-edu.com 第 5 页（共 89 页）0931-8437986种不同的组合一般组合的组合种数用(或)表示，即 m nC mn,)!( ! mnmnCm n并且规定不难看出 . 10nCm mn nmACp例例 5 袋中有 N 个球，其中 M 个为白色，从中任取 n 个：N10，M2，n3；N10，M4，n3考虑以下各事件的组合数：()全不是白色的球()恰有两个白色的球()至少有两个白色的球()至多有两个白色的球()颜色相同()不考虑球的颜色答案是：当 M2 时，() () ().0 23 8CC.1 82 2CC.1 82 2CC() () ()2112033 28282810().C CC CC CC、.3 8C3 10C当 M4 时，() () ().0 43 6CC.1 62 4CC.0 63 41 62 4CCCC() ()()(3 43 103 60 42 61 41 62 4CCCCCCCC、.3 63 4CC 3 10C分析分析(略)定理定理 6 从不同的 k 类元素中，取出 m 个元素从第 1 类 n1个不同元素中取出 m1个，从第 2 类 n2个不同的元素中取出 m2个，从第 k 类 nk个不同的元素中取出 mk个，并且 nimi0(i1，2，k)(简称为不不同类元素的组合同类元素的组合)，共有 种不同取法iikkm nkim nm nm nCCCC 12211L例例 6 从 3 个电阻，4 个电感，5 个电容中，取出 9 个元件，问其中有 2 个电阻，3 个电感，4 个电容的取法有多少种？解解 这是一个不同类元素的组合问题由定理 6 知，共有 即 60 种取法601 51 41 32 52 42 3CCCCCC例例 7 五双不同号的鞋，从中任取 4 只，取出的 4 只都不配对(即不成双)，求()排列数；()组合数答案是：()；()1 41 61 81 10CCCC.1 21 21 21 24 5CCCCC1313 微积分微积分概率论可以分为“高等概率论”与“初等概率论” 初等概率论是建立在排列组合和微积分等数学方法的基础上的全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的“概率论”就是初等概率论微积分作为初等概率论的基础知识，除了我们已经比较了解的“函数、极限、连续、可导、可积”等概念之外，还应了解下面的有关概念1可求积与不可求积可求积与不可求积在微积分中，求不定积分与求导数有很大不同，我们知道，任何初等函数的导数仍为初等函数，而许多初等函数的不定积分，例如 xxxxxxxxxxxd1,dsin,dln1,dsin,de322等，虽然它们的被积函数的表达式都很简单，但在初等函数的范围内却积不出来这不是因为积分方法不够，而是由于被积函数的原函数不是初等函数的缘故我们称这种函数是“不可求积不可求积”的因此，我们可以将函数划分为：在初等概率论中，正态分布密度函数就是属于可积而不可求积的一类函数2绝对收敛绝对收敛(1)任意项级数的绝对收敛所谓任意项级数是指级数的各项可以随意地取正数、负数或零下面给出绝对收敛与条件收敛两个概念定义定义 3 若任意项级数的各项取绝对值所成的级数收敛，则称级数是绝对收敛的绝对收敛的；若n nu1|1n nun nu1甘肃自考教育中心网 www.gszk-edu.com 联系电话：0931-8437986(报名处)更多试题下载。更多试题下载。 。 。www.gszk-edu.com 第 6 页（共 89 页）0931-8437986发散，而级数收敛，则称级数是条件收敛的条件收敛的|1n nun nu1n nu1例如，级数是收敛的，但各项取绝对值所成的级数nnn1) 1(11 Lnnnn1.211|1) 1( |11是发散的，因而级数是条件收敛又如，级数各项取绝对值所成级数nnn1) 1(112111) 1(nnn是收敛的，因而级数是绝对收敛的LL222111211|1) 1( |nnnn2111) 1(nnn 定理定理 7 若级数绝对收敛，则必定收敛n nu1n nu1证明证明 令), 2 , 1()0(0)0(|)|(21L