1第一讲第一讲 矩阵概念及运算矩阵概念及运算一、矩阵概念一、矩阵概念矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数 表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等.例 1 某户居民第二季度每个月水（单位：吨）、电（单位：千瓦时）、 天然气（单位：立方米）的使用情况，可以用一个三行三列的数表表示为水 电 气16210101519010141659由例 1 以及教材中的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来 表示，我们将这些数表统称为矩阵矩阵.定义定义 2.12.1 有 mn 个数排列成一个 m 行 n 列，并括以方括弧（或圆括弧） 的数表mnmmnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵.矩阵通常用大写字母 A, B, C表示. 记 作 nmijaA其中 aij ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )称为矩阵 A 的第 行第 j 列元素.ii 注：矩阵的行数 m 与列数 n 可能相等，也可能不等.特别地，当 m = 1 时，即 A = naaa11211L称为行矩阵行矩阵.当 n = 1 时，即A = 12111maaaM称为列矩阵列矩阵.当 m = n 时，即A = nnnnnnaaaaaaaaaLLLLLLL212222111211称为 n 阶矩阵阶矩阵，或 n 阶方阵阶方阵. (再介绍几个特殊矩阵)所有元素全为零的 mn 矩阵，称为零矩阵零矩阵，记作或 O.例如Om n4 月 5 月 6 月2=43O000000000000主对角线上的元素是 1，其余元素全部是零的 n 阶矩阵，称为 n 阶单位矩 阵，记作 In或 I. 如E2 =， E3 = 1001100010001（零矩阵和单位矩阵在下面的矩阵运算中，将起着类似于数 0 和数 1 在数 的加法和乘法中的作用.）二、矩阵运算二、矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论 它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质 等问题，这是下面所要讨论的主要内容.）1相等定义定义 2.22.2 如果两个矩阵，满足： nmijaA psijbB(1) 行、列数相同，即 ；pnsm ,(2) 对应元素相等，即 aij = bij ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n )，i 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A = B（由定义 2.2 可知，用等式表示两个 mn 矩阵相等，等价于元素之间的 m n 个等式.）例如，矩阵A =， B = 232221131211 aaaaaa 412503那么 A = B，当且仅当 a11 = 3，a12 = 0，a13 = -5，a21 = -2，a22 = 1，a23 = 4而C = 22211211 cccc因为 B, C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵 C 中的元素 c11, c12, c21, c22取 什么数都不会与矩阵 B 相等.2加法定义 2.3 设，是两个 mn 矩阵，则称矩阵 nmijaA psijbBC = mnmnmmmmnnnnbababababababababaLLLLLLL221122222221211112121111为 A 与 B 的和，记作3C = A + B = ijijba （由定义 2.3 可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.）同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =ijijba 称称 D 为为 A 与与 B 的差的差.例 2 设矩阵A =， B = 152403 130432求 A + B，A - B.解 A + B = + 152403 130432= = 11) 3(5024430)2(3 022031A - B = - 152403 130432= 11) 3(5024430)2(3 282835矩阵加法满足的运算规则是什么？ 设 A, B, C, O 都是 mn 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 3 3数乘数乘定义定义 2.42.4 设矩阵，为任意实数，则称矩阵为数 nmijaA nmijcC与矩阵 A 的数乘数乘，其中，记为), 2 , 1;, 2 , 1(njmiacijijLLC =A（由定义 2.4 可知，数乘一个矩阵 A，需要用数去乘矩阵 A 的每一个元 素.特别地，当 = -1 时，A = -A，得到 A 的负矩阵.）例 3 设矩阵A = 062504713那么，用 2 去乘矩阵 A，可以得到42A =0262225202)4(272) 1(232 012410081426数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数 k , l 和矩阵 A = ，B =满足以下运算规则： nmija nmijb1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数 1 与矩阵满足： 1A = A. 例 4 设矩阵 A =，B =，求 3A - 2B.610523712834解 先做矩阵的数乘运算 3A 和 2B，然后求矩阵 3A 与 2B 的差.3A = Q63130353)2(333183015692B = 72) 1(22282) 3(242142416683A - 2B = -= 1830156914241668 4541014乘法某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵 A 表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用 B 表示两种 家用电器的单位售价（单位：千元）和单位利润（单位：千元）：I II 单价 利润A = B = 91811251020 2 . 15 8 . 05 . 3用矩阵 C = 表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那 23ijc么 C 中的元素分别为， ccc112131203510512025351151425183595108.ccc1222322008101228250811 123321808912252.即甲 乙 丙I II总 收 入总 利 润5C = 323122211211cccccc2 . 198 . 018595 . 3182 . 1118 . 0255115 . 325 2 . 1108 . 0205105 . 320=2 .251082 .335 .14228120其中，矩阵 C 中的第 行第 j 列的元素是矩阵 A 第 行元素与矩阵 B 第 j 列对ii 应元素的乘积之和.定义 2.5 设 A=是一个 ms 矩阵，B=是一个 sn 矩阵，则称 m ija ijbn 矩阵 C =为矩阵 A 与 B 的乘积，记作 C = AB.其中 cij = ai1b1 j + ai2b2 j + ijc + ai s bs j = ( = 1, 2, , m；j = 1, 2, , n ).a bikkj ks 1i（由定义 2.5 可知：）(1) 只有当左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数时，A, B 才能作乘法运算 AB；(2) 两个矩阵的乘积 AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵 A 的行数，它的 列数等于右矩阵 B 的列数；(3) 乘积矩阵 AB 中的第 行第 j 列的元素等于 A 的第 行元素与 B 的第 jii 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例 5 设矩阵 A = ， B = ，计算 AB. 530412 10789解 AB = 530412 10789= = 105)8(3)7(59310)8(4)7(09410) 1()8(2)7() 1(9226832362625在例 5 中，能否计算 BA？ 由于矩阵 B 有 2 列，矩阵 A 有 3 行，B 的列数A 的行数，所以 BA 是无意 义的.例 6 设矩阵 A = ，B =， 求 AB 和 BA. 2142 1122解 AB = 2142 11226= = 12)2(1) 1(22114)2(2) 1(422 0000BA = = 1122 2142 214111212)2(421)2(22= 2142由例 5、例 6 可知，当乘积矩阵 AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘 积矩阵 AB 和 BA 有意义时，AB 和 BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交 换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例 6 中矩阵 A 和 B 都是非零矩阵（AO, B O ）,但是矩阵 A 和 B 的乘 积矩阵 AB 是一个零矩阵（AB = O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因 此，当 AB = O，不能得出 A 和 B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵 AB = AC，且 AO 时，不能消去矩阵 A，而得到 B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算