古典概型教学设计一、一、教材分析教材分析 古典概型，它安排在随机事件之后，几何概型之前，学生还未学习排列 组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本 的概率模型，在概率论中占有重要的地位，是学习概率必不可少的内容， 同时有利于理解概率的概念及利用古典概型求随机事件的概率。 二、二、教学目标教学目标 根据本节教材在本章中的地位和大纲要求以及学生实际,本节课的教学目标制定如下:结合一些具体实例，让学生理解并掌握古典概型的两个特征及其概率计算公式，培养学生猜想、化归、观察比较、归纳问题的能力。会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率, 渗透数形结合、分类讨论的思想方法。使学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型,关键是要使该问题是否满足古典概型的两个条件，培养学生对各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养学生的应用能力。三、教学的重点和难点三、教学的重点和难点 重点重点：理解古典概型的含义及其概率的计算公式。 难点难点：如何判断一个试验是否为古典概型，分清在一个古典概型中某随机 事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 四、四、学情分析学情分析 高一（x）班是一个xx班，学生数学基础比较薄弱，对数学的了解比较 浅显，课堂接受容量较低。本课的学习是建立在学生已经了解了概率的意 义，掌握了概率的基本性质，知道了互斥事件和对立事件的概率加法公式。 学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力 方面尚需进一步培养。多数学生能够积极参与研究，但在合作交流意识方 面，发展不够均衡，有待加强。 五五、教法学法分析教法学法分析 本节课属于概念教学，根据这节课的特点和学生的认知水平，本节课 的教法与学法定为：为了培养学生的自主学习能力，激发学习兴趣，借鉴 布鲁纳的发现学习理论，在教学中采取以问题式引导发现法教学，利用多 媒体等手段，引导学生进行观察讨论、归纳总结。 六、教学过程六、教学过程( (一一) )复习引入复习引入 （1）什么是基本事件？ 在一次试验中可能出现的每一种基本结果称为基本事件 （2）什么是等可能基本事件？ 在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件 为等可能事件 （3）什么是互斥事件？ 不可能同时发生的事件是互斥事件 （4）如果事件A与事件B互斥，则 P(AB)=P(A)+P(B) 【设计意图设计意图】复习基本事件是因为对于每一个概率问题我们都需要首先研 究它的基本时间空间。复习等可能事件与互斥事件是为了探索古典概型定 义时，对古典概型的特征分析更好的猜测。复习互斥事件加法公式是为了 古典概型中事件概率求法的理论推导时有所应用。 （二）新课引入（二）新课引入 1. 试验： 掷一枚质地均匀的硬币，观察硬币落地后哪一面朝上？ 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数？ 一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况？ 【设计意图设计意图】从学生熟悉的试验出发，让同学们自己思考探索 师：在试验一、试验二和试验三中基本事件空间分别是什么？各随机事件发生的可能性分别是多少？生：在试验一中基本事件空间=正，反，两种情况发生的可能性相同都为 0.5在试验二中基本事件空间=1，2，3，4，5，6，六种情况发生的可能性相同都为在试验三中基本事件空间=（正，反），（反，正），（正，正），（反，反），四种情况发生的可能性相同都为 0.25.2. 以问题的形式将试验一、二、三的结果以表格的形式归纳表现出来。 问题：试验一、二、三中基本事件空间，每个基本事件出现的概率是多少？ （利用概率性质进行求解） 试验一、试验二、实验三的归纳表格：试验材料试验结果结果关系611 6试验一硬币质地是均 匀的 “正面朝上” “反面朝上”两种随机事件 的可能性相等， 即它们的概率 都是 试验二骰子质地是均 匀的“1点”、“2 点” “3点”、“4 点” “5点”、“6 点”六种随机事件 的可能性相等， 即它们的概率 都是 实验三骰子质地是均 匀的（正，反）， （正， 正）， （反，反） （反，正）四种随机事件 的可能性相等， 即它们的概率 都是 师：比较发现这三个试验具有什么共同点？（让学生交流讨论，教师再加以总结、概括）让同学们对照表格观察猜想发现三个试验的共同点: （1）有限性 在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限 个不同的基本事件： （2）等可能性 每个基本事件发生的可能性是均等的。 我们称这样的实验为古典概型。上述的三个例子都是古典概型。 【设计意图设计意图】三个实验都是古典概型，因此从试验出发寻找出它们的共同点，进而得到古典概型的定义。同时让同学自己探索培养了学生猜想、化归、观察比较、归纳问题的能力。3.古典概型的定义： 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性） 每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性） 我们将具有这两个特点的概率模型为古典概率模型，简称为古典概型。 4小试牛刀 （1）在适宜的条件下”种下一粒种子，观察它是否发芽？“ 这个实验的基本事件空间为（发芽，不发芽），而”发芽“或”不发芽 “这两种结果出现的机会一般是不均等的。 （2）从规格直径为300+0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径 d？测量值可能是从299.4300.6mm之间的任何的一个值，所有可能的结果有无 数个 【设计意图设计意图】判断一个试验是否为古典概型是本节课的重点难点，在这里 设这个联系可以起到检验同学是否真正理解古典概型的作用，同时也可以 让同学们学会新知识的应用。 5.学生讨论，举出一些身边的古典概型的例子： (如:“用抽签法从班里抽取一名学生代表”这是一古典概型；“用抽签法 从班里抽取一名学生代表，结果为男代表或者女代表”假如男女生人数不 相等则不是古典概型。 【设计意图设计意图】通过以上两个问题，让学生加深对古典概型定义及特点的理 解；让学生讨论、举实例进一步加深学生对概念的理解，也提高学生的发 现能力等。 （三）探索方法（三）探索方法 1.思考：在古典概型下，随机事件出现的概率如何计算？ 思考：在掷骰子的试验中，事件A“出现3”发生的概率是多少？在掷骰子的试验中，事件B“出现的点数不大于4”发生的概率是 多少？ 【设计意图设计意图】这里没有直接给出公式，而是安排了问题，引导学生进行知 识的迁移，培养学生的逻辑思维能力，展示学生的思维过程，在课堂上把 问题交给学生，提倡学生自主学习的新理念，也对古典概型公式这一重点 进行突破。培养学生猜想，对比，论证的数学思维。 2.理论证明 一般地,对于古典概型，如果试验的n个事件为A1，A2，A3An，由于基 本事件是两两互斥的，则由互斥事件概率加法公式得P（A1）+P（A2）+P（A3）+.+P（An）=P(A1UA2UA3.UAn)=P( ) =1 又因为每个基本事件发生的可能性相同，即P（A1）=P（A2） =.=P（An） 代入上式得n x P(A1)=1 即P(A1)= 所以在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为 如果随机事件A包含的基本事件数为m,同样地，由互斥事件概率加法公式可 得P(A)= ，所以在古典概型中古典概型的概率计算公式：P（A）=这一定义称为概率的古典定义。 【设计意图设计意图】借助互斥事件的概率加法公式，同学们接受这个理论这名并 不困难。理论证明更具有说服力，同时将所学习的概率知识串联起来，体n1n1nm总的基本事件个数包含的基本事件个数A现了知识的整体性与连贯性。 3.对古典概型中事件概率的总结归纳 如果某个事件A包含了其中 m个等可能基本,那么事件A发生的概率为： 如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个，那么每一个等可能基本事件发 生的概率都是 P(A)= 【设计意图设计意图】帮助同学整理思路，更清楚的认识古典概型中事件概率的求 法。 ( (四四) )例题讲解例题讲解 例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。 分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。 解：这个试验的基本事件空间为=（1，2，3，4，5，6）基本事件总数n=6,事件A=”掷得奇数点“=（1, 3 ，5),其包含的基本 事件数m=3,所以P(A)=0.5 【设计意图设计意图】深化对古典概型的概率计算公式的理解，也抓住了解决古典 概型的概率计算的关键. 例2 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中每次任取一件，每 次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率？解 每次取一个，取后不放回的连续取两次组成的基本事件空间，其一 切可能的结果为=（a1,a2），（a1,b1）,（a2,a1）,（a2,b1）,（b1,a1）,(b1,a2)其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次 取出的产品。由六个基本事件组成，而且可以认为这六个基本事件出现是 等可能的。 用A表示”取出的两件中，恰好有一件是次品“这一事件，则 A= （a1,b1）,（a2,b1), （b1,a1）,(b1,a2)， 事件A由4个基本事件组 成，因而P(A)= 【设计意图设计意图】让学生明确解决概率的计算问题的关键是：先要判断该概率 模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中 基本事件的总数。 例3 在例2中，把”每次取出后不放回“这一条件换成”每次取出后放回 “，其余不变，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。 解 有放回的连续的取出两件，其一切可能的 结果组成的基本事件空间n1n132=（a1,a2),（a1,b1),（a2,a1),（a2,b1),（b1,a1）,(b1,a2)， (a1,a1),(a2,a2),(b1,b1)由9个基本事件组成，由于每一件产品被取到 的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的。用B表示”恰 有一件次品“这一事件，则B=（a1,b1）,（a2,b1）,（b1,a1）, （b1,a2）事件B由4个基本事件组成，因而 P(B)= 【设计意图设计意图】本题通过学生的观察比较，发现两种结果不同的根本原因是 研究的问题是否满足古典概型，从而再次突出了古典概型这一教学重 点，体现了学生的主体地位，逐渐使学生养成自主探究能力。同时培养学 生运用数形结合的思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，增 强学生数学思维情趣。 例3 每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲。同样的他 的父亲和母亲的基因也有两份。在生殖过程中，父亲和母亲各自随机的提 供一份基因给他们的后代。以褐色颜色的眼睛为例。每个人都有一份基因 显示他的眼睛颜色。 （1）眼睛为褐色 （2）眼睛不为褐色 分析：如果孩子得到父母的基因都为“眼睛为褐色”的基因，则孩子的眼 睛也为褐色。如果孩子得到父母的基因都为“眼睛不为褐色”的基因，则 孩子的眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他基因).如果孩子得到的基因 中一份为“眼睛为褐色”的，另一份为“眼睛不为褐色”的。则孩子的眼 睛不会出现两种可能。而只会出现眼睛颜色为褐色的情况。生物学家把眼 睛“眼睛为 褐色“的基因叫做显性基因”。方便起见，我们用字母B代表”眼睛为褐 色“的显性基因，用字母b代表”眼睛不为褐色“这个基因。每个人都有两 份基因。控制一个人眼睛颜色的基因有BB,Bb,Bb,bb.注意在BB,Bb,Bb和bb 这4种基因中只有bb显示眼睛颜色不为褐色，其他基因都显示眼睛颜色为褐 色。 假设父亲母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb,则孩子眼睛颜色不为褐色的概率 有多大？ 解 由于父亲母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，则孩子有可能产生的基因 有4种，即BB,Bb,bB,bb(图3-5）。又由于