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【学案十一】空间向量与立体几何 第 1 页 (共 8 页)【青春励志卡】让自己快乐,是一种美德,让别人快乐,是一种功德。zyxCDCBAABOzyxDCCBAA BO NMHGFEzyxDCCBAA BOzyxDCCBAA BO NM【 【学案十一学案十一】 】 空空间间向量与立体几何向量与立体几何( ()空)空间间直角坐直角坐标标系系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系:如图,是单位正方体。以 O 为原点,分别OABCD A B C 是射线 OA,OC,的方向为正方向,以线段 OA,OC,的长为单位长度,ODOD 建立三条数轴:轴,轴,轴,这时我们说建立了一个空空间间直角坐直角坐标标系系 O。xyzxyz 点 O 叫做坐坐标标原点原点,轴,轴,轴叫做坐坐标轴标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做xyz 坐坐标标平面平面,分别称为平面,平面,平面。其中:xOyyOzzOx 平面是坐标形如(x,y,0)的点构成的集合;xOy 平面是坐标形如的点构成的集合;yOz), 0(zy平面是坐标形如的点构成的集合;zOx), 0 ,(zx轴是坐标形如的点构成的集合;x)0 , 0 ,(x轴是坐标形如的点构成的集合;y)0 , 0(y轴是坐标形如的点构成的集合。z), 0 , 0(z 空间任意一点 M 与三个有序实数组(点的坐标)之间,建立起一一对应关系。 这个有序实数组叫做点 M 在此空空间间直角坐直角坐标标系中的坐系中的坐标标,记作 M() 。, ,x y z 其中叫做点 M 的横坐横坐标标,叫做点 M 的纵纵坐坐标标,叫做点 M 的竖竖坐坐标标。xyz写出下列各点的坐标:O,A,)0 , 0 , 0()0 , 0 , 1 ( B,C,)0 , 1 , 1 ()0 , 1 , 0(A) 1 , 0 , 1 ( ,。B) 1 , 1 , 1 (C) 1 , 1 , 0(D) 1 , 0 , 0( 例例 1、如图,正方体的棱长为OABCD A B Ca E、F、G、H、M、N 分别是棱,C DD A ,的中点,A AABBCCC 写出正六边形 EFGHMN 各顶点的坐标。E(0,) ,F(,0,) ,G(,0,)2aa2aaa2aH(,0) ,M(,0) ,N(0,)a2a 2aaa2a例例 2、已知正三角形 ABC 的两个顶点的坐标分别为 A(0,0,0) ,B(0,2,0)它的第三个顶点 C 在坐标平面上,则顶点 C 的坐标是 。答案:(,1,0) , (-,1,0) , (0,1,) , (0,1,-) 。3333 二、在空间直角坐标系中,点二、在空间直角坐标系中,点 P(x,y,z)的几种特殊的对称点的坐标如下:)的几种特殊的对称点的坐标如下: 点 P关于原点对称的对称点是 P1;),(zyx),(zyx点 P关于横轴(x 轴)对称的对称点是 P2;),(zyx),(zyx点 P关于纵轴(y 轴)对称的对称点是 P3;),(zyx),(zyx点 P关于竖轴(z 轴)对称的对称点是 P4;),(zyx),(zyx 点 P关于平面对称的对称点是 P5;),(zyxxOy),(zyx点 P关于平面对称的对称点是 P6;),(zyxyOz),(zyx点 P关于平面对称的对称点是 P7。),(zyxzOx),(zyx 三、三、已知空间两点,则:1111( ,)P x y z2222(,)P xyz(1)线段线段的中点的中点坐标公式:坐标公式:。12PP( , , )M x y z)2,2,2(212121zzyyxx(2)空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式:。12|PP 2 212 212 21)()()(zzyyxx特别地:空间任意一点到原点 O 的距离为:。( , , )P x y z|OP 222zyx例例 3、如图,正方体的棱长为,且正方体各面的中心是一个OABCD A B Ca几何体的顶点,则这个几何体的棱长为。a22(例(例 3 图)图) (例(例 4 图)图) 例例 4、如图,正方体的棱长为,OABCD A B Ca| 2|ANCN,则的长为。| 2|BMMCMNa35例例 5、以 A(4,1,9) ,B(10,1,6) ,C(2,4,3)为顶点的 三角形是 等腰直角 三角形。 四、练习:四、练习: (1)点 A(0,1,3)及点 B(0,5,0)在空间直角坐标系的位置都比较特殊,点 A 在上,点 B 在上。、yoz、 y(2)点 M(1,5,2)关于平面的对称点是 (1,5,-2) 。yOz (3)点 M(3,1,2)关于轴对称的点的坐标是 (3,1,-2) 。x (4)点 A(2,3,1)关于坐标原点对称的点的坐标是 (-2,3,-1) 。 (5)点 M(2,1,2)在轴上的投影点为 (-2,0,0) 。x (6)点 A(1,2,1)在平面上的投影点为 (-1,0,1) 。xOz (7)点 M(3,4,2)到平面上的距离是 2 。xOy【学案十一】空间向量与立体几何 第 2 页 (共 8 页)【青春励志卡】让自己快乐,是一种美德,让别人快乐,是一种功德。laOABPbaP AOBC(8)点 A(2,1,5)到轴的距离等于。xd26(9)已知,两点,( ,5,21)A xxx(1,2,2)Bxx当取最小值时,的值为。|ABx78(10)轴上到点 M(3,5,7)与点 N(6,0,1)距离相等x的点的坐标是。)0, 0,323((11)已知三角形三个顶点 A(2,0,0) ,B(2,3,5) ,C(0,0,5) ,则过点 B 的中线长为。265( ()空)空间间向量与立体几何向量与立体几何一、在空间,具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量空间向量。空间向量用 有向线段 表示。有向线段的长度表示向量的 长度 或 模 。 二、零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、共面向量二、零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量、共面向量: 零零 向向 量量长度为 0 的向量叫做零向量。零向量。零向量的方向是 任意的 。0r单单位向量位向量模为 1 的向量叫做单位向量。单位向量。共共线线向量向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行 或 重合 , 则这些向量叫做共线向量共线向量或平行向量平行向量。记作。/abrr零向量与任意向量平行(共线); 任一组平行向量都可以移动到同一条直线上。相等向量相等向量方向相同 且 模相等 的向量叫做相等向量,相等向量,记作。abrr向量可根据需要 平移 。在空间,两个长度相等且指向一致的 有向线段表示同一个向量或相等向量。相反向量相反向量与长度 相等 ,方向 相反 的向量,叫做的相反向量。相反向量。arar零向量的相反向量是 零 向量; 任一向量与其相反向量的和是 零 向量。共面向量共面向量平行于同一平面 的向量,叫做共面向量。共面向量。 空间任意两个向量总是 共面 的; 空间任意三个向量 即可能共面也可能不共面 。 空间任意两个向量都可以平移到 同一平面 内,成为同一平 面内的两个向量,因此,空间向量也是自由向量自由向量。 三、空间向量的线性运算:三、空间向量的线性运算: 1、空空间间向量的加法、减法运算向量的加法、减法运算:空间向量的加减运算类似于平面向量的加减运算, 同样遵循平行四边形法则和三角形法则。 说明:空间向量的加法运算满足交换律及结合律;即:加法交换律:;加法结合律:。abba)()(cbacba 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线 所表示的向量, 这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 即在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中,。11ACABADAAabcuuuu ruuu ruuu ruuu rrrr 首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点 的向量即:。12233411nnnA AA AA AAAA Auuuu ruuuuruuuuruuuuuu ruuuu rL因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为 首尾相接 的向 量 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为即:012233411nnnA AA AA AAAA Auuuu ruuuuruuuuruuuuuu ruuuu rL02、空空间间向量的数乘运算向量的数乘运算:与平面向量一样,实数与空间向量的乘积arar仍然是一个向量,称为向量的数乘运算向量的数乘运算。它的长度与方向规定如下: ;|ar|ar 当时,的方向与的方向 相同 ;0arar当时,的方向与的方向 相反 ;当时,0arar0ar0 向量数乘运算律:设 、 为实数,那么: ,()a r ()ar特别地:()()(),ararar;()araarr。()abrrabrr四、向量共线的充要条件四、向量共线的充要条件:对空间任意两个向量,(),arbrbr0r的充要条件是存在实数 ,使。/abrrba 推论推论:如上图,如果 为经过已知点,且平行于已知非零向量的直线,lAar对空间任意一点,点在直线 上的充要条件是存在实数 ,OPlt使。atOAOP其中向量叫做直线 的方向向量方向向量。在 上取,则上式可化为:arllABauuu rr或。ABtOAOPOBtOAtOP)1 (当时,点是线段的中点,此时1 2t PAB)(21OBOAOP和都叫做空空间间直直线线的向量表示式的向量表示式,是线线段段的中点公式的中点公式AB五、向量共面的充要条件:五、向量共面的充要条件:【学案十一】空间向量与立体几何 第 3 页 (共 8 页)【青春励志卡】让自己快乐,是一种美德,让别人快乐,是一种功德。如果两个向量不共线,, a brr与向量共面的充要条件是:pr, a brr存在唯一的有序实数对() ,, x y使byaxp 推论推论:空间一点位于平面 ABC 内的充要条件是:P存在有序实数对() ,使。, x yACyABxAP或对空间任意一点 O,有。ACyABxOAOP或对空间任意一点 O,有。OCyOBxOAyxOP)1 ( 上面、和式都叫做平面平面 ABC 的向量表示式的向量表示式例 1、已知,则和所夹角的大小为。| 2a r|2b r(2)abarrrarbr4例 2、已知,若,324 ,(1)82amnp bxmnyprrrrrrrr0a rr/abrr则实数= -13 ,= 8 。xy 六、空间向量的数量积:六、空间向量的数量积: 1、空间向量的夹角及其表示:、空间向量的夹角及其表示: 已知两非零向量,在空间任取一点,作,, a brrO,OAa OBbuu u ruuu rrr则叫做向量向量与与的的夹夹角角,记作,显然有。AOBarbr, a brr,a bb arrrr的取值范围:。, a brr0,180a brr2、向量的数量积、向量的数量积:已知两个非零向量,则叫做的数量的数量积积。, a brrbaba,cos|, a brr记作,即a brra brrbab
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